Математика (стр. 5 )

2.  если (x;y;z), то

3.  если (), (), то ×=()-скалярное произведение векторов

4.  угол между векторами () и ():

cos==.

Отсюда следует, что×= условие перпендикулярности ненулевых векторов:

^×=0

условие коллинеарности векторов:

если (), (), то .

Линейная зависимость и независимость векторов. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Определение. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Пример 6.1

Дано: {2;-3;1}, {3;2;-4}. Найти линейную комбинацию векторов 2+3.

Решение.

2+3=2{2;-3;1}+3{3;2;-4}={4;-6; 2}+{9;6;-12}={13;0;-10}.

Определение. Система векторов называется линейно независимой тогда и только тогда, когда и все коэффициенты

Определение. Система векторов называется линейно зависимой тогда и только тогда (), когда и не все коэффициенты равны нулю, т. е. когда уравнение имеет ненулевое решение.

Пример 6.2

Линейно зависимы ли данные векторы: {2;3;3},{3;4;5}?

Решение.

Составим линейную комбинацию векторов:

{2;3;3}+{3;4;5}={0;0;0}==0и- линейно независимы.

Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Введем обозначения.

Е - единичная матрица размерности n n;=-матрица; X=- вектор-столбец; в качестве линейного оператора выступает матрица А.

Определение. Вектор-столбец X называется собственным вектором матрицы А, если: 1)X0; 2) существует такое число , что АX=x.

Определение. Скаляр называется собственным значением матрицы А.

Теорема. Скаляр называется собственным значением матрицы А .

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А, корни которого являются собственные значения матрицы А.

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А

1.  Записать характеристическое уравнение матрицы А: . Решив его, найдем корни уравнения, т. е. собственные значения матрицы А.

2.  Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным значениям . Для этого находим ненулевые решения однородной системы матрицы А:

. Каждое ненулевое решение вектора-столбца определяет собственный вектор X.

Пример 6.3

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А=.

Решение.

1.  Запишем характеристическое уравнение матрицы А: решив как квадратное уравнение, получаем =1+, =1-- собственные значения матрицы А.