Математика (стр. 12 )

Пример 14.4

Вычислить приближенно:

arctg1,05=arctg(1+0,05)»[arctgx+(arctgx)¢Dx»arctgx+]»arctg1+=

Используются также формулы:

Пример 14.5

Вычислить приближенно:

1.

2.

Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то .

Правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее.

Пример 15.1

1. 

2.  .

Применение производной к исследованию функций. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Возрастание и убывание функций, экстремумы функций

Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых верно неравенство .

Теорема 16.1. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) > f(x0) (рис 16(а)).

Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) < f(x0) (рис.16(б)).

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Пример 16.1

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y=.

Решение.

D(y)=R

Имеем

; x=2 -критическая точка

x	(,2)	2	(2, )
	¾	min	+
y	¯	-1	­

Ответ: функция убывает на интервале (,2) и возрастает на интервале (2, ), точка x=2 - минимум функции y=.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Определение. Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой вниз на этом промежутке (рис. 16 (в)).

Определение. Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой вверх на этом промежутке (рис. 16(г)).

Определение. Точка x0 называется точкой перегиба графика непрерывной функции f(x), если она разделяет интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх (рис. 16(д)). Угловая точка не является точкой перегиба (рис.16(е)).

Теорема 15.2. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она выпукла вниз (выпукла вверх) на этом промежутке.

Пример 16.2

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y=.

Решение.

D(y)=R

Имеем

6x-4=0x=

x	(,)		(, )
	+	т. перегиба	¾
y	È	1,6	Ç

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (,) и выпукла вверх на интервале (, ), точка x= - точка перегиба функции y=.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными (рис. 16.1 а)), горизонтальными (рис. 16.1 б)), наклонными (рис. 16.1 в)).

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 16.3. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Если , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 16.4. Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .