Математика (стр. 3 )

Определение. Квадратная матрица А= называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение. Присоединенной матрицей к матрице А называется матрица вида:

=, где Аij-алгебраическое дополнение элемента аij.

Находят обратную матрицу по формуле: А-1=.

Пример 3.1

Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.

А=

Решение.

1.  Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:

=3×(-1)1+1 +0×(-1)2+1 +1×(-1)3+1=3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т. к. ¹0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

2.  Найдем транспонированную матрицу.

АТ=

3.  Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.

= (-1)1+1 =12-4=8

= (-1)1+2 = -(4-4)= 0

= (-1)1+3 = 2-6= -4

= (-1)2+1 = -(0-2)=2

= (-1)2+2 = 12-2=10

= (-1)2+3 = -(6-0)= -6

= (-1)3+1= 0-3= -3

= (-1)3+2 = -(6-1)= -5

= (-1)3+3 = 9-0=9.

=

4. Воспользуемся формулой: А-1=.

А-1==.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных: X=и вектор-столбец свободных членов: B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме: A×X=BX=A-1×B - решение системы (1).

Пример 3.2

Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы.

Решение.

Формула, по которой будем находить решение системы: X=A-1×B.

Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных: X=и вектор-столбец свободных членов: B=.

Найдем определитель =3×(-1)1+1 +0×(-1)2+1 +1×(-1)3+1=3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т. к. ¹0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):

А-1=.

Подставим в формулу X=A-1×B, получим: X=×==

Ответ: =, ,.

Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных: X=и вектор-столбец свободных членов: B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме: A×X=B.

Теорема Крамера. Пусть -определитель матрицы А, j- определитель матрицы, получаемой из А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система имеет единственное решение: , (1£j£n).

Пример 4.1

Решить систему линейных уравнений: методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы А= и вектор-столбец свободных членов: B=.

Найдем определитель ==3×(-1)1+1 +0×(-1)2+1 +1×(-1)3+1=3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т. к. ¹0, следовательно, можно применить формулы Крамера.

Найдем определители , , , полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов: