Основная образовательная программа (стр. 17 )

- по организационным формам: лекции, лабораторные занятия, индивидуальные занятия. Для реализации информационной, стимулирующей, воспитывающей, развивающей, ориентирующей, разъясняющей, убеждающей, систематизирующей и структурирующей функций лекции целесообразно использовать следующие ее формы: проблемная лекция; лекция-визуализация; лекция с заранее запланированными ошибками; лекция с разбором конкретных ситуаций; мультимедиа лекция;

- по преобладающим методам и приемам обучения: объяснительно-иллюстративные и проблемные;

- информационные, мультимедийные.

Требования к результатам освоения содержания дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций:

а) общекультурных (ОК):

Коды	Содержание общекультурных компетенций (ОК)
ОК-1	способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;
ОК-5	способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности;
ОК - 9	способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности;
ОК-11	способность владения навыками работы с компьютером как средством управления информацией;
ОК-12	способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях;
ОК-14	способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными технологиями;
ОК - 15	способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач;
ОК-16	способность к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства

б) профессиональных (ПК):

Коды	Содержание профессиональных компетенций (ОК)
ПК-1	способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой;
ПК-2	способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии;
ПК-3	способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат;
ПК-5	способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности;
ПК-6	способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников;
ПК-7	способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам;
ПК-9	способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования;
ПК-10	способность применять в профессиональной деятельности современные языки программирования и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии;
ПК-12	способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы.

Преподавание данного курса предполагает получение студентами базовых знаний в области дискретной математики.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: алгебру высказываний, предикатов и множеств, элементы комбинаторики, булевы функции, элементы теории алгоритмов и теорию графов, сети, теорию кодирования и некоторые приложения дискретной математики.

Уметь: преобразовывать логические выражения, строить ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, применять язык предикатов для записи математических утверждений, выполнять основные операции над множествами, ставить и решать комбинаторные задачи, применять теорию графов для решения практических задач.

Приобрести: опыт и навыки владения дискретными математическими структурами

Общая трудоемкость дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц (288 часов)

Формы контроля

Вид итогового контроля – зачет, экзамен (1, 2 семестр)

Составитель

2. «Дифференциальные уравнения»

Место дисциплины в структуре основной образовательной программы (ООП).

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» включена в базовую часть профессионального цикла Б.3.2. Направление подготовки 010400.62 – Прикладная математика и информатика.

Профиль подготовки: Математическое моделирование и вычислительная математика.

Для успешного изучения дисциплины необходимы знания, умения и навыки, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ I-III

части», «Алгебра и геометрия». Получаемые знания лежат в основе математического образования, необходимы для понимания и освоения ряда математических наук и их приложений.

На знаниях, умениях и навыках, приобретенных в ходе изучения курса «Дифференциальные уравнения» базируются такие дисциплины вариативного и профессионального цикла,

как «Уравнения математической физики», «Математические методы прогнозирования»,

«Методы решения задачи типа Стефана», «Численные методы», «Нелинейные дифференциальные уравнения», «Математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды», «Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений».

2. Место дисциплины в модульной структуре ООП.

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» является самостоятельным модулем.

3. Цель изучения дисциплины.

Целью изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» является изучение основ теории и аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, фундаментальная подготовка в области дифференциальных уравнений, формирование математической культуры будущего специалиста, овладение современным аппаратом

обыкновенных дифференциальных уравнений для дальнейшего использования в решении задач прикладной математики и информатики.

4. Структура дисциплины.

Дисциплина состоит из восьми разделов.

Раздел 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Понятие дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядок уравнения, решение, интеграл, общее решение, общий интеграл. Поле направлений. Интегральные кривые. Векторное поле. Фазовые кривые. Метод изоклин.

Раздел 2. Обыкновенные дифференциальные первого порядка.

Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенные и не разрешенные относительно производной. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения Риккати. Уравнения Лагранжа и Клеро. Методы решений. Вопросы существования решений уравнений первого порядка, разрешенных и неразрешенных относительно производной.

Раздел 3. Обыкновенные дифференциальные высшего порядка.

Дифференциальные уравнения допускающие понижение порядка. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Построение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка по известной фундаментальной

системе решений соответствующего однородного уравнения. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения высшего порядка. Построение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Выражение линейного

дифференциального оператора n-го порядка от произведения двух функций. Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами с правой частью специального вида. Неоднородные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения. Метод

вариации произвольной постоянной. Формула Коши для нахождения частного решения. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера. Однородный случай и неоднородный. Второй метод интегрирования уравнения Эйлера. Уравнения Чебышева. Полином Чебышева. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами. Самосопряженное линейное уравнение. Построение общего решения линейного одно-

родного уравнения 2-го порядка с переменными коэффициентами по его известному частному решению. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Раздел 4. Общая теория линейных дифференциальных уравнений.

Пространство решений линейного однородного уравнения: теорема о векторном пространстве множества решений, теорема об определителе Вронского и линейной независимо-

сти решений. Базис пространства решений: теорема о решениях, образующих базис, фундаментальная система решений, общее решение, о вещественном базисе пространства решений. Формула Остроградского – Лиувилля. Линейные неоднородные дифференциальные

уравнения: Метод вариаций произвольных постоянных. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: сведение к нормальной системе, разрешимость, единственность. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами: лемма о линейно независимой системе функций, лемма о решениях уравнения, теорема о фундаментальной системе

решений. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью в виде квазимногочлена.

Раздел 5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши (для системы уравнений и для уравнения высшего порядка). Интервал существования решения линейных систем и уравнений. Зависимость решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных. Линейные системы дифференциальных уравнений: запись в векторном виде. Линейные однородные системы : пространство решений, теорема о линейной зависимости решений, теорема о базисе пространства решений, следствие, фундаментальная система решений, вещественный базис пространства решений. Определитель Вронского, формула Лиувилля. Решение неоднородной системы методом вариации постоянных:

система для определения постоянных, теорема о виде общего решения с фундаментальной матрицей. Линейные однородные системы с действительными постоянными коэффициента-

ми: фундаментальная система решений в случае различных собственных значений, теорема о системе решений, отвечающей кратному собственному значению.

Раздел 6. Теория устойчивости.

Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Устойчивость линейных дифференциальных систем: теорема об устойчивости системы, следствия 1 и 2, терема об асимптотической устойчивости системы. Устойчивость линейных однородных

систем: теорема об устойчивости, теорема об асимптотической устойчивости. Устойчивость однородных линейных систем с постоянными коэффициентами: лемма об оценке решения,

теорема об асимптотической устойчивости системы, замечание о неустойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению: лемма об оценке решения, следствие,

оценка фундаментальной матрицы, нелинейная автономная система и выделение линейной части, теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Поведение траекторий линей-

ной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка: случай действительных и различных собственных значений - узел, седло, система полупрямых, случай комплексно - сопряженных собственных значений - фокус, центр, случай кратного действительного корня - диакритический узел, случай прямых. Первые интегралы.

Раздел 7. Уравнения с частными производными первого порядка.

Постановка задачи об интегрировании уравнения с частными производными первого порядка. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка. Первые интегралы характеристической системы. Связь характеристик с решениями задачи Коши. Теорема

существования и единственности решения задачи Коши (для функции двух переменных).

Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Система двух совместных

уравнений первого порядка. Уравнение Пфаффа.

Раздел 8. Дифференциальные уравнения как аппарат математического моделирования

сложных систем. Наглядное представление дифференциальных уравнений. Математические

модели природных явлений. Модели популяции: модель Мальтуса, Лотки-Вольтерра, уравнение логистического роста, уравнение Ферхюльста-Прила. Анализ устойчивости моделей.

Математическая модель радиоактивного распада. Законы Кеплера. Гравитационный закон Ньютона. Модель падения метеороида. Модель падения дождя.

5. Основные образовательные технологии.

В учебном процессе используются следующие образовательные технологии: по организационным формам: лекции, практические занятия, индивидуальные занятия, контрольные работы; по преобладающим методам и приемам обучения: объяснительно-иллюстративные (объяснение, показ-демонстрация учебного материала и др.); активные (анализ учебной и научной литературы и т. п.) и интерактивные, в том числе и групповые (взаимное обучение в форме подготовки и обсуждения докладов и др.); информационные, компьютерные, мультимедийные (работа с источниками сайтов академических структур, научно-исследовательских организаций, электронных библиотек и др., разработка презентаций сообщений и докладов,

работа с электронными обучающими программами и т. п.).

6. Требования к результатам освоения дисциплины.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки:

Общекультурные компетенции:

-способность работать в коллективе и использовать нормативные правовые документы в своей деятельности (ОК-13);

-способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными

технологиями (ОК-14);

-способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);

-способность к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства (ОК-16);

Профессиональные компетенции:

-способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности

современный математический аппарат (ПК-3);

-способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива

решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4);

-способность критически переосмыслить накопленный опыт, изменять при необходи-

мости вид и характер профессиональной деятельности (ПК-5);

-способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных науч-

ных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным,

профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7);

-способность применять в профессиональной деятельности современные языки про-

граммирования и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии (ПК-10);

-способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы

(ПК-12).

В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать классификацию основных типов уравнений первого и высшего порядков; методы решения основных типов дифференциальных уравнений; метод изоклин решения дифференциальных уравнений первого порядка; Формулировки теорем существования и единственности решения для уравнений первого порядка, высшего порядка, систем дифференциальных уравнений; особые решения дифференциальных уравнений; необходимый признак линейной зависимости функций; теорему об общем решении линейного однородного уравнения; принципы построения общего решения; метод вариации произвольной постоянной;

метод неопределенных коэффициентов; метод Эйлера нахождения решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; методы решения неоднородных систем; принципы устойчивости; классифицировать особые точки, такие, как седло, узел, фокус, центр.

Уметь: ориентироваться в материале учебных дисциплин, использующих аппарат дифференциальных уравнений; решать основные, модельные уравнения, курса обыкновенных дифференциальных уравнений; находить решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Владеть: методами дифференциальных уравнений и навыками приложения дифференциальных уравнений при решении задач прикладного характера.

7. Общая трудоемкость дисциплины.

8 зачетных единиц. Всего часов - 288, в том числе – 144 аудиторных часов, 117 час - самостоятельная работа студентов, 27 часов – экзамены.

8. Формы контроля.

Текущий контроль: письменная контрольная работа, коллоквиум, компьютерное тестирование, работа на практических занятиях, посещение занятий.

Промежуточная аттестация – зачет (3 семестр).

Итоговая аттестация – экзамен (4 семестр)

9. Составитель.

Кандидат физико-математических наук, доцент

3. «Теория вероятностей и математическая статистика»

Цели и задачи освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является ознакомление студентов с основами теории вероятностей и математической статистикой, а также с вероятностными методами исследования математических моделей.

При этом задачами дисциплины являются:

· формирование современных естественно - научных представлений об окружающем материальном мире;

· выработка у студентов методологической направленности, значимой для решения поставленной задачи;

· формирование у студентов логического мышления, умения точно формировать задачу, способность выделять главное и второстепенное, умения делать выводы на основании полученных результатов измерений;

· обучение студентов основам математической статистики, которые позволяют извлекать необходимую информацию из результатов наблюдений и измерений, оценивать степень надежности полученных данных.

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть общенаучного цикла. Она базируется на «Математическом анализе», «Алгебре и геометрии» и служит, основой для дальнейшего более углубленного изучения методов зашиты информации и выработки практических рекомендаций по их применению в различных областях знаний.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки (специальности):

а) общекультурных (ОК):

ОК-1: способностью владеть культурой мышления, умением аргументированно и ясно строить устную и письменную речь;

ОК-3: способность использовать углубленные, теоретические и практические знания в области зашиты информации;

ОК-5: способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны;

ОК-9: способностью осознавать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности;