Основная образовательная программа (стр. 26 )

б) профессиональных (ПК):

Коды	Содержание профессиональных компетенций (ОК)
ПК-1	Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой
ПК-2	Способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии
ПК-3	Способность понимать и принимать в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
ПК-5	Способность критический переосмыслить накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности
ПК-7	Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам
ПК-9	Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования
ПК-10	Способность применять в профессиональной деятельности современные языки программирования и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии
ПК-14	Способность владеть методикой преподавания учебных дисциплин
ПК-15	Способность применять на практике современные методы педагогики и средства обучения

7. Общая трудоемкость дисциплины.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часов)

8. Форма контроля.

Промежуточная аттестация - 1 зачет (8 семестр)

9. Составитель

– старший преподаватель кафедры ВМ

18. «Вариационные методы математической физики»

1.Место дисциплины в структуре основной образовательной программы (ООП).

Дисциплина «Вариационные методы математической физики» является одной из профессионально образующих дисциплин по подготовке выпускников обучающихся по направлению 010400.62 – «Прикладная математика и информатика».

Задачи математической физики обычно сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных, реже к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые надлежит интегрировать при соответствующих данной задаче начальных или краевых условиях. С прикладной точки зрения значительный интерес представляет вычисление численных, хотя бы приближенных, значений искомой величины.

2. Место дисциплины в модульной структуре ООП.

Дисциплина «Вариационные методы математическо» является самостоятельным модулем.

3. Цель изучения дисциплины.

Целью преподавания дисциплины является изложение курса «вариационные методы математической физики» на современном и доступном уровне и умение применять вариационные методы на практике.

Во многих случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения можно заменить равносильной задачей об отыскании функции, сообщающей некоторому интегралу наименьшее значение. Задачи такого типа называются вариационными. Методы, позволяющие свести задачу интегрирования дифференциального уравнения к равносильной вариационной задачей, называются вариационными.

Рассматриваются наиболее важные из вариационных методов - энергетический метод, метод Ритца, который является приближенным методом решения вариационных задач, метод Бубнова-Галеркина, метод ортогональных проекций и прямые методы – метод наименьших квадратов и конечно-разностные методы (метод сеток).

4. Структура дисциплины.

№ п/п		темы занятий	лекции (часов)	лабор. (часов)	сам. работа	в том числе КСР
1.		Об операторах математической физики
	1.1.	Постановка основных задач. Некоторые вспомогательные понятия и формулы. Скалярное произведение функций.	1	2	4	1
	1.2.	Понятие об операторе и о функционале. Симметричные операторы. Положительные о положительно определенные операторы.	1	2	4	1
2.		Сходимость по энергии
	2.1.	Оценка приближения и типы сходимости. Сходимость в среднем. Сходимость по энергии.	1	2	4	1
	2.2.	О линейной независимости функций. Ортогональность и ортогональные ряды.	1	2	4	1
3.		Энергетический метод
	3.1.	Теорема о минимальном функционале. Представление решения в виде ортогонального ряда. Минимизирующая последовательность и ее сходимость. Метод Ритца, метод Куранта, метод Канторовича, метод наискорейшего спуска – как методы построения минимизирующей последовательности.	1	2	4	1
	3.2.	Функции с конечной энергией. Неоднородные краевые условия. О существовании вариационной задачи.	1	2	4	1
4.		Важнейшие применения энергетического метода
	4.1.	Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Изгиб балки переменного сечения, лежащей на упругом основании. Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа. Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной силой.	1	2	4	1
	4.2.	Уравнения с переменными коэффициентами. Вырождающиеся эллиптические уравнения. Уравнение Чаплыгина. Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости. Изгиб тонких пластин, к которым приложены как нормальные нагрузки, так и усилия, действующие в серединной плоскости.	1	2	4	1
5.		Проблема собственных чисел
	5.1.	Задача о собственных числах, ее связь с задачами о собственных колебаниях и об устойчивости системы. Собственные числа и собственные функции симметричного оператора. Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел. Другая форма Ритца. Случай естественных краевых условий. Уравнение вида Au - Bu = 0. Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения. Устойчивость сжатого стержня. Собственные числа эллиптических операторов. Устойчивость сжатой пластинки.	1	2	4	1
	5.2.	Собственные колебания упругих тел. Минимаксимальный принцип и его следствия. Понятие об интеграле Лебега. Общее определение функционала и оператора. Общая постановка вариационной задачи и ее решение.	1	2	4	1
6.		Оценка погрешности приближенного решения
	6.1.	Пространства и проекции. Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле. Общая формулировка метода ортогональных проекций. Задача Неймана. Метод Трефтца.	1	2	4	1
	6.2.	Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка. Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно опертой пластины. Метод Слободянского. Двусторонние оценки функционалов. Двусторонние оценки собственных чисел.	1	2	4	1
7.		Метод Бубнова – Галеркина
	7.1.	Основы метода Бубнова-Галеркина. Доказательство сходимости метода для интегрального уравнения типа Фредгольма. Доказательство сходимости для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Вполне непрерывные операторы. Уравнения, содержащие вполне непрерывный оператор. Достаточный признак сходимости метода Бубнова-Галеркина.	1	2	4	1
	7.2.	Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Задача Неймана и смешанная задача для уравнения эллиптического типа второго порядка. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина для случая естественных краевых условий.	1	2	4	1
8.		Метод наименьших квадратов
	8.1.	Основы метода наименьших квадратов. Применение метода к интегральным уравнениям. Применение метода к краевым задачам с однородными краевыми условиями. Задачи Дирихле и Неймана. Задача Дирихле для эллипса. Случай кусочно-гладкого контура.	1	2	4	1
	8.2.	Смешанная задача теории потенционала. Плоская задача теории упругости. Периодическая задача теории упругости. Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой.	1	2	4	1
9.		Конечноразностные методы
	9.1.	Метод сеток. Основы метода прямых. Метод прямых для уравнений Лапласа и Пуассона. Метод прямых для бигармонического уравнения.	1	2	4	1
10.		Численные примеры
	10.1.	О координатных функциях. Кручение стержня прямоугольного сечения. Изгиб прямоугольной пластины, жестко закрепленной по краю. Изгиб полукруглой пластины, упруго закрепленной по краю. Вычисление собственных чисел ОДУ второго порядка. Собственные колебания стержня переменного сечения. Колебания упругой прямоугольной пластины в ее плоскости. Устойчивость сжатой эллиптической пластины.	1
		итого:	18	36	68	17

5. Основные образовательные технологии.