Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 10 )

В случае линейной парной регрессии и уравнение регрессии значимо на уровне если

Вычисление значимости коэффициента корреляции . В практических исследованиях оценка величина случайная.

Пусть вычисленное значение . Возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей линейной корреляционной связью между переменными и в генеральной совокупности или является следствием случайного отбора переменных в выборку.

Обычно в этих случаях проверяется гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совоку

пности, т. е.

Оценка существенности (значимости) линейного коэффициента корреляции основана на сопоставлении значения с его средней квадратической ошибкой :

.

Укажем особенности расчета этого критерия в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) .

1.  Если число наблюдений достаточно велико и есть основание полагать,

что выборка осуществлена из нормальной совокупности, то рассчитывается по приближенной формуле .

Обычно при большом , выполнение условия означает значимость , а связь – реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительные границы . Так, при вероятности , для которой коэффициент доверия (табл. 6 приложения: критические точки распределения Стъюдента), доверительные границы составят

При вероятности , для которой коэффициент доверия , доверительные границы составят

Поскольку значение не может превышать единицу, то в случае, если следует указать только нижний предел, т. е. утверждать, что реальный не меньше чем

2. При небольшом числе наблюдений средняя ошибка линейного коэффициента корреляции определяется как

а значимость проверяется на основе критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю, т. е.

, т. е. отсутствии связи между и в генеральной совокупности. Для этого определяется расчетное значение критерия:

и сопоставляется с

Если нулевая гипотеза верна, т. е. то распределение критерия подчиняется закону Стьюдента с заданными параметрами принимаемым обычно за 0,05, и числом степеней свободы . Гипотеза отвергается, т. е. выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если

где - табличное значение критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости при числе степеней свободы . Связь между и считается реальной.

Если то нулевая гипотеза не отвергается и коэффициент корреляции считается незначимым, т. е. считается, что связь между и отсутствует, и значение , отличное от нуля, получено случайно.

Пример 3. Проверить на уровне значимость коэффициента корреляции между переменными и по данным табл.19 .

Решение. Ранее вычислен . Статистика критерия

Для уровня значимости и числа степеней свободы находим критическое значение статистики (табл.6 приложеня). Поскольку , то считаем, что коэффициент корреляции между суточной выработкой продукции и величиной основных производственных фондов значимо отличается от нуля.

Для значимого коэффициента корреляции целесообразно найти доверительный интервал (интервальную оценку), который с заданной надежностью содержит (точнее, «накрывает») неизвестный генеральный коэффициент корреляции. Для построения такого интервала необходимо знать выборочное распределение коэффициента корреляции , которое при несимметрично и очень медленно (с ростом сходится к нормальному распределению. Поэтому прибегают к специально подобранным функциям от , которые сходятся к хорошо изученным распределениям. Чаще всего для подбора функции применяют преобразование Фишера: