Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 28 )

Предположим, что каждая переменная может быть выражена как линейная комбинация ненаблюдаемых факторов с так что

, , (8)

где параметры линейной модели известны как факторные нагрузки; специфические факторы, присущие только данной индивидуальной ой переменной ; случайная ошибка, ассоциированная только с

Для дальнейшего предположим, что некоррелированные случайные переменные со средним 0 и дисперсией 1, некоррелированные случайные величины с нулевыми средними и неизвестными дисперсиями величины и некоррелированы.

При таких предположениях дисперсия из (8) может быть представлена в виде

где известна под названием общности, которая представляет часть дисперсии , обусловленную «общими факторами», а доля дисперсии , не объясненной общими факторами, или вклад в общую вариацию признака некоторого характерного, скрытого фактора.

Ковариация между задается выражением

Аналогично получаем

с учетом введенных предположений факторной модели.

Представим факторную модель в матричной форме:

где есть матрица нагрузок. Тогда будем иметь разложение ковариационной матрицы

где диагональная матрица порядка содержащая дисперсии ошибок.

Оценивание матрицы нагрузок

Если в модели (8) отбросить ошибки , то получается модель главных компонент вида:

где: исходные переменные; главные компоненты; коэффициенты перехода от системы переменных к системе компонент составляющие матрицу собственных векторов матрицы , которая является решением матричного уравнения:

где матрица корреляций между исходными переменными; вектор собственных чисел матрицы

В рассматриваемой модели предполагается, что главных компонент некоррелированы, именно тогда дисперсия ой главной компоненты равна собственному значению выборочной корреляционной или ковариационной матрицы. В качестве главных факторов берется первых главных компонент

характеризующихся наибольшими дисперсиями. Оценками факторных нагрузок служат величины .

Таким образом получается оценка факторной модели

где оценки специфических факторов.

Здесь все общие факторы имеют единичные дисперсии и некоррелированы между собой и со специфическими факторами. Поскольку на практике ковариации специфических признаков обычно отличны от нуля, то имеет место определенное нарушение первоначальных представлений модели.

Оценки общностей и специфичностей для исходных переменных имеют вид:

На рис. 23 изображено пространство исходных переменных и факторные оси (собственные векторы), повернутые по главным осям эллипса рассеяния множества объектов (например, угол поворота оси относительно равен ). На рисунке изображен один из множества объектов исходная координата которого по оси переменной равна а факторная координата по оси равна . Проекция единичного вектора на фактор называется факторной нагрузкой от переменной

Вращение пространства общих факторов

Задача вращения общих факторов решается с целью улучшения их интерпретируемости. Если факторные нагрузки в структуре фактора имеют более-менее равномерное распределение, поиск названия этого фактора затрудняется из-за неявности его особенностей, структурных акцентов. И, наоборот, простая структура фактора, в которой несколько элементарных признаков очевидно доминируют над другими по своей значимости, позволяет определить его название и место в конкретном анализе легко и достаточно надежно.

Вращение общих факторов может быть ортогональным, когда взаимодействие факторов исключается, и косоуголным, порождающим корреляционные связи латентных факторов. При выборе каждого из двух типов вращения требуется последовательное решение таких вопросоыв:

-  Какие вычислительные процедуры следует выполнять для вращения факторного пространства?

-  До каких пор (сколько раз) должна повторяться операция вращения?

-  Какой угол лучше установить для поворрота?.

Наиболее простым является ортогональное вращение. Оно производится умножением матрицы нагрузок на некоторую ортогональную матрицу задающую угол поворота, размерностью по числу общих факторов. Поворот может задаваться по или против часовой стрелки.

Косоугольное вращение матрицы факторных нагрузок может проводиться поочередным вращением каждого фактора на определенный угол или одновременным вращением всех факторов посредством умножения исходной матрицы нагрузок на неортогональную матрицу поворота, предусматривающую корреляционные связи латентных факторов.

Вопрос достаточности числа поворотов пространства факторов решается субъективно, построением графиков распределений наблюдаемых объектов в пространстве повернутых факторов – это наиболее трудоемкий путь, или аналитическими средствами, с использованием специальных критериев для оценки структуры общих факторов. Все критерии базируются на представлении величины дисперсии факторных нагрузок как меры сложности структуры факторов. Дисперсия рассчитывается по формуле:

где элементы матрицы факторного отображения, величины факторных нагрузок;

число общих факторов.

Величина дисперсии будет максимальной, когда одно из значений квадратов нагрузок равна общности а в методе главных компонент – единице, и все остальные элементы в строке нулевые.