Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 21 )

Многомерный статистический анализ (специализированные методы)

Статистика меет дело с совокупностями (популяциями) объектов и выборками из этих совокупностей. Когда каждый объект в выборке имеет одну количественную или качественную характеристику (признак), интересующая статистика, совокупность и выборка являются одномерными. Объектами могут быть, например, взрослые люди, а переменной – их рост (количественная переменная) или цвет волос (качественная переменная). Когда для каждого объекта в выборке определены значения двух или более переменных, мы имеем дело с многомерной совокупностью. Для совокупности взрослых людей такими переменными могли бы быть: рост, вес, возраст, кровяное давление и т. п. переменные или признаки.

Многомерный вектор случайной переменной представляется в виде . Выборочноеое наблюдение над этим объектом определяется в виде .

11. Введение в анализ временных рядов

11.1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике, экологии и в других областях знаний подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) в последовательные равноотстоящие моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать где число уровней.

В табл. 32 приведены данные, отражающие цену и спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл. ед.), т. е. два временных ряда - цены товара и спроса на него.

Таблица 32

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
Цена,	492	462	350	317	340	351	368	381
Спрос,	213	171	291	309	317	362	351	361

На рис. 21 приведены графики этих временных рядов.

Рис. 21.

В общем виде, например, при исследовании экономического временного ряда выделяются несколько составляющих:

где тренд, плавно меняющаяся константа, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную («вековую») тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления и т. п.);

сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, иногда месяца, недели и т. д., например, объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года);

цтклическая компонента, отражающая экономический процесс в течение длительного периода (например, циклов солнечной активности, демографических «ям», влиние волн экономической активности и т. п.);

случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Обратим внимание, что в отличие от первые три составляющие 3 компоненты являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при исследовании временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Основные этапы анализа временных рядов:

графическое представление и описание поведения временного ряда;

-  выделение закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

-  сглаживание и фильтрация (удаление низко - или высокочастотных составляющих временного ряда);

-  исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

-  прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

-  исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Кроме перечисленным выше задач, временные ряды используются для построения математической модели процесса, представленного временным рядом.

Если измеряемые величины являются многомерными, то временной ряд тоже назывется многомерным.

Среди наиболее распространенных методов анализа временного ряда выделяют

корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Методы корреляционного анализа позволяют выявить наиболее существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) в одном процессе (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция).

Методы спектрального анализа позволяют находить периодические и квазипериодические зависимости в данных.

Методы сглаживания и фильтрации предназначены длч преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний.

Методы аавторегрессии и скользящего среднего оказываются полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения.

Так же, как и ранее вариационный ряд рассматривался как одна из реализаций случайной величины , временной ряд рассматривается как одна из реализаций (траекторией) случайного процесса Вместе с тем следует иметь в виду принципиальное отличие временного ряда от последовательности наблюдений , образующих случайную выборку. Во первых, в отличие от элементов выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

11.2. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция

Важное значение в анализе временного ряда имеют стационарные временные ряды, вероятные свойства которых не меняются со временем. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей наблюдений такое же, как и наблюдений при любых и . Другими словами, свойства сторого стационарных рядов не зависят от момента т. е. закона распределения и его числовые характеристики не зависят от Следовательно, математическое ожидание среднее квадратическое отклонение могут быть оценены по наблюдениям по формулам: