Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 11 )

(i)

Распределение уже при небольшом является приближенно нормальным с математическим ожиданием

и дисперсией

Поэтому вначале строят доверительный интервал для

(ii)

где нормированное отклонение , определяемое с помощью функции Лапласса:

(iii)

При определении границ доверительного интервала для т. е. для перехода от к существует специальная таблица. При ее отсутствии переход может быть осуществлен по формуле:

(iiii)

где гиперболический тангенс

Если коэффициент корреляции значим, то коэффициенты регрессии и также значимо отличаются от нуля, а интервальные оценки для соответствующих генеральных коэффициентов регрессии и могут быть получены по формулам, основанным на т ом, что статистики имеют распределение Стьюдента с степенями свободы:

; (V)

. (VI)

преобразование Фишера может быть применено при проверке различных гипотез относительно коэффициента корреляции [1].

Пример 4. По данным табл. 19 найти с надежностью интервальные оценки (доверительные интервалы) параметров связи (тесноту связи) между суточной выработкой продукции и величиной основных производственных фондов

Решение. Так как коэффициент корреляции Х и У значим (предыдущий пример), то построим доверительный интервал для генерального коэффициента применяя преобразование Фишера. По формуле (i)

По (iii) из условия по таблице функции Лапласса находим

По (ii) построим доверительный интервал для

или Находим границу доверительного интервала для используя специальную таблицу или формулу (iiii):

или

В указанных границах на уровне значимости (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции

Построим доверительные интервалы для генеральных коэффициентов регрессии и . Вначале определим средние квадратические отклонения переменных:

По формуле (V):

или Аналогично по формуле (VI):

При содержательной интерпретации параметров и следует считаться в первую очередь с их интервальными оценками.

9.5. Корреляционное отношение и индекс корреляции

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. В случае интенсивности связи между признаками при любой форме зависимости, вычисляют так называемое корреляционное отношение.

Для получения такого показателя, как было отмечено ранее, используется правило сложения дисперсий (8.4):

(1)

где общая дисперсия переменной

(2)

средняя групповая дисперсия или остаточная дисперсия –

(3) (4)

межгрупповая дисперсия

(5)

Остаточная дисперсия измеряет ту часть колеблемости , которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, включая и ошибки измерений, не зависящих от

Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации , которая обусловлена изменчивостью Величина

(6)

получила название эмпирического корреляционного отношения по Чем теснее связь, тем больше влияние на вариацию переменной оказывает изменчивость по сравнению с неучтенными факторами, тем выше Величина называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации обусловлена вариацией . Аналогично вводится эмпирического корреляционного отношения по (7)