Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 7 )

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

(9)

Учитывая (6), преобразуем выражения:

С учетом (*), разделив обе части уравнений (9) на получим систему нормальных уравнений в виде:

(10)

где соответствующие средние вычисляются по формулам:

(11)

(12)

(13)

Из первого уравнения системы (10) получим и подставим его в уравнение регрессии (7) и получим

или . (14)

Коэффициент в уравнении регрессии называется коэффициентом регрессии и обозначают . Тогда уравнение регрессии

. (15)

Коэффициент регрессии по показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.

Решая систему (10), найдем (16)

где выборочная ковариация:

(17)

выборочная дисперсия переменной . (18)

Рассуждая аналогично и полагая уравнение регрессии (4) линейным, можно привести к виду:

(19)

- (20)

- коэффициент регрессии X по показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная X при увеличении переменной Y на одну единицу;

выборочная дисперсия переменной . (21)

Так как числители в формулах (16) и (20) для и совпадают, а знаменатели – положительные величины, то коэффициенты регрессии и имеют одинаковые знаки, определяемые знаком Из уравнений (15) и (19) следует, что коэффициенты и определяют угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона) к оси Ох соответствующих линий регрессии, пересекающихся в точке

Пример 1. По данным табл.19 найти уравнения регрессии по и по пояснить их смысл.

Решение. Вычислим все необходимые суммы:

.

По формулам (11)-(21) находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:

(млн руб); (т);

Уравнения регрессии: или (22)

или (23)

Рис. 19

Рис. 20

Соответствующие эмпирические и теоретические линии регрессии представлены на рис. 19 и 20.

Из первого уравнения регрессии У по Х следует, что приувеличении основных производственных фондов (ОПФ) Х на 1 млн руб. суточная выработка продукции У предприятия увеличивается в среднем на 0.6762 т. Второе уравнение регрессии Х по У показывает, что для увеличения суточной выработки продукции У на 1 т необходимо в среднем увеличить ОПФ Х на 0, 8099 млн руб. (заметим, что свободные члены в уравнениях регрессии не имеют реального смысла).

Интервальная оценка функции регрессии

Постром доверительный интнрвал для функции регрессии, т. е. для условного математического ожидания , который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) накрывет неизвестное значение .

Найдем дисперсию групповой средней , представляющей выборочную оценку . С этой целью уравнене регрессии

представим в виде:

Это есть уравнение прямой, проходящей через точку с тангенсом угла наклона . Для произвольного наблюдаемого значения

,

где - возмущение.

Из выражения (24) вычислим дисперсию групповой средней равна сумме дисперсий двух независимых слагаемых:

(*)

(Здесь учтено, что - неслучайная величина). Дисперсия выборочной средней

. (**)

Для нахождения дисперсии представим коэффициент регрессии в виде: