Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 18 )

В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Если поделить обе части равенства (8) на число наблюдений, то получим рассмотренное выше правило сложения дисперсий. Равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой , складывается из двух компонент - и характеризующих изменчивость этого показателя между партиями () и изменчивость «внутри» партий (), характеризующих одинаковую (по условию) для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так назвываемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата являющегося несмещенной оценкой межгркпповой дисперсии, число степеней свободы так как при его расчете используются групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы ибо при ее расчете используются все наблюдений, связанных между собой уравнениям (4). Таким образом,

Можно показать, что в случае справедливости нулевой гипотезы (влияние всех уровней фактора одно и то же), , где дисперсия возмущения (помехи). То есть, средние квадраты являются несмещенными и являются независимыми оценками одной и той же дисперсии

Схему дисперсионного анализа представим в виде таблицы 25

Таблица 25

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая Внктригрупповая Общая	(9) (10) (11)		.

Гипотеза отвергается, если фактически вычисленное значение статистики больше критического определенного на уровне значимости при числе степеней свободы и принимается, если .

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Замечание. Для вычисления сумм квадратов часто бывает удобно использовать формулы:

, (12)

, (13)

(14)

т. е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

Пример 10. Имеются четыре партии для текстильной промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в табл. 26.

Таблица 26

Номер партии	Разрывная нагрузка
1 2 3 4	200 190 230 150	140 150 190 170	170 210 200 150	145 150 190 170	165 150 200 180

Необходимо выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрвыной нагрузки. Принять

Решение. Имеем Найдем средние значения разрывной нагрузки для каждой партии по формуле (4):

и аналогично

и .

Среднее значение разрвыной нагрузки всех отобранных образцов по формуле (5):

.

или, иначе, .

Вычислим суммы вкадратов отклонений по формулам (9)-(11):

Соответствующее число степеней свободы для этих сумм:

Результаты расчета сведены в табл. 27.

Таблица 27

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая Внутригрупповая Общая	4980 7270 12250	3 16 19

Фактически наблюдаемое значение статистики