Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 17 )

Пример 9. Группа из 5 экспертов оценивает качество изделий, изготовленных на 7 предприятиях. Их предпочтения представлены в табл.24 Вычислить коэффициент конкордации рангов и оценить его значимость на уровне

Таблица 24

Эксперт,	Предприятие,	Итого
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5	1 3 4 2 6 7 5 1 2 5 3 6 4 7 2 1 7 5 6 4 3 1 2 4 6 3 5 7 3 1 5 4 2 6 7
Сумма рангов	8 9 25 20 23 26 29	140
	-12 -11 5 0 3 6 9 144 121 25 0 9 36 81	- 416

Решение. В итоговой таблице 24 приведены суммы рангов изделий по каждому из 7 предприятий, полученных от 5 экспертов. Общая сумма рангов равна 140. Средняя сумма рангов равна .

Коэффициент конкордации по формуле (5)

Оценим значимость . Вычислим по табл. ?? приложений Так как то коэффициент конкордации значим на 5% - ном уровне. Таким образом, существует достаточно тесная согласованность мнений экспертов.

Корреляционный анализ может быть использован и при оценке взаимосвязи качественных (категоризованных) признаков, представленных в так называемой номинальной шкале, в которой возможно лишь различение объектов по возможным состояниям, градациям (например, пол, социальное положение, профессия и т. п.). Здесь в качестве соответствующих показателей могут быть использованы коэффициенты ассоциации, контингенции (сопряженности), бисериальной корреляции.

10. Дисперсионный анализ

В настоящее время дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Анализ основан на проверке существенности различия выборочных средних двух или более совокупностей. По числу факторов, влияние которых исследуется, различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

10.1. Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

(1)

где значение исследуемой переменной, полученной на м уровне фактора с м порядковым номером

эффект, обусловленный влиянием го уровня фактора;

случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т. е. вариацией переменной внутри отдельного уровня.

Под уровнем фактора понимается некоторая ее мера или состояние, например, количество вносимых удобрений, вид обработки материала и т. п.

Основные предпосылки дисперсионного анализа:

1.  Математическое ожидание возмущения равно нулю для любых т. е.

(2)

2.  Возмущения взаимно независимы.

3.  Дисперсия возмущения (или переменной ) постоянна для любых т. е.

(3)

4.  Ввозмущение (или переменной ) имеет нормальный закон распределения

Влияние уровней факторов может быть как фиксированным, или систематическим

(модель I), так и случайным (модель II).

Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т. е. проверить влияние на качество одного фактора – партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании; если же включить только отобранную случайно часть партии, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксиравнные.

Рассмотрим задачу подробнее. Пусть имеется партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно изделий (для простоты полагаем Значения показателя качества этих изделий представим в виде матрицы наблюдений

.

Необходимо проверить существенность влияния партий изделий на их качество.

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения (реализации) случайных величин выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическим ожиданием соответственно

и одинаковые дисперсии то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы осуществляемой в дисперсионном анализе.

Обозначим усреднение по какому-либо индексу звездочкой вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий й партии, или групповая средняя для го уровня фактора, примет вид

(4)

а общая средняя (5)

Рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдений от общей средней

(6)

или

Последнее слагаемое

так как

Первое слагаемое (7)

В результате получим (8)

где общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.