Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 5 )

Предполагается, что и , т. е. если при изменении или условные математические ожидания и не изменяются, то говорят, что

корреляционная зависимость между переменными и отсутствует.

Сравнивая различные виды зависимости между и , можно сказать, что с изменением значений переменной при функциональной зависимости однозначно изменяется определенное значение переменной , при корреляционной – определенное среднее значение (условное математическое ожидание) , а при статистической – определенное (условное) распределение переменной . Таким образом, из рассмотренных зависимостей наиболее общей является статистическая зависимость. Каждая корреляционная зависимость является статистической, но не каждая статистическая зависимость является корреляционной. Функциональная зависимость представляет частный случай корреляционной.

Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению следующих задач:

-  выявление наличия (или отсутствия) корреляционной связи между изучаемыми признаками (решается с помощью группировок и путем построения и анализа специальных корреляционных таблиц);

-  измерение тесноты связи между двумя (и более) признаками вычислением специальных коэффициентов –коэффициента корреляции или корреляционного отношения. Эта часть исследований называется корреляционным анализом. Основной задачей корреляционного анализа – выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты.

-  определение уравнения регрессии – математической модели, в которой среднее значение результативного признака рассматривается как функция одной или нескольких переменных - факторных признаков. Эта часть исследований называется регрессионным анализом. Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между переменными.

Уравнения (1) и (2) называются модельными уравнениями регрессии (уравнениями регрессии) соответственно по и по , функции и - модельными функциями регрессии (функциями регрессии), а их графики – модельными линиями регрессии (линиями регрессии).

Для отыскания модельных уравнений регрессии, в общем случае необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины На практике исследователь, как правило, располагает лишь выборкой пар значений ограниченного объема. В этом случае речь может идти об оценке (приближенном выражении) по выборке функции регрессии. Такой наилучшей (в смысле метода наименьших квадратов) оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии по

(3)

где условная (групповая) средняя переменной при фиксированном значении переменной параметры кривой.

Аналогично определяется выборочная линия (кривая) регрессии по

(4)

где условная (групповая) средняя переменной при фиксированном значении переменной параметры кривой.

Уравнения (3) и (4) называют также выборочными уравнениями регрессии соответственно по и по .При правильно определенных аппроксимирующих функциях и с увеличением объема выборки они будут сходиться по вероятности соответственно к функциям регрессии и

9.2. Основные положения регрессионного анализа.

Линейная парная регрессия модель

Задачами ререссионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной зависимой переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной , называемой объясняющей переменной. Такая зависимость может возникнуть в случаях, когда при каждом фиксированном значении соответствующие значения подвержены случайному разбросу за счет действия неконтролируемых факторов. В силу воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения будут в большей или меньшей мере отклоняются от функции регрессии . В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлено в виде:

где случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии. Эту переменную будем называть возмущением. Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная есть некоторая функция с точностью до случайного возмущения

Рассмотрим линейный регрессионный анализ, для которого функция линейна относительно оцениваемых параметров:

(i)

Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (i) взята выборка, содержащая пар значений переменных где В этом случае линейная регрессионная модель имеет вид:

(ii)

Основные предпосылки регрессионного анализа:

1.  В модели (ii) возмущение (или зависимая переменная есть величина случайная, а объясняющая переменная величина неслучайная.