Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 22 )

(1)

. (2)

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений ряда и

(сдвинутых относительно друг друга на единиц, или. Как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

(3)

ибо

Так как коэффициент измеряет корреляцию между членнами одного и того же ряда, его называют коэфффициентом автокорреляции, а зависимость автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда автокорреляционная функция зависит только от лага , причем , т. е. при изучении можно ограничиться рассмотрением только положительных значений .

Статистической оценкой является выборочный коэффициеент авторегрессии определяемый по формуле коэффициента корреляции

. (4)

Функцию называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

При расчете следует помнить, что с увеличением число пар наблюдений ослабевает и автокорреляционная функция должна убывать (по абсолтной величине). В то же время для ее выборочного (эмпирического) аналога , особенно при небольшом числе пар наблюдений , свойство монотонности убыывания (по абсолтной величине) при возрастании может нарушиться.

Пример 1. По данным табл. 32 для временного ряда найти среднее, среднее квадратическое отклонение и коэффициент автокорреляции (для лагов .

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (1):

(ед).

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (2), но проще использовать соотношение

(ед.); где

Найдем коэфффициент автокорреляции временного ряда (для лага ), т. е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений и

	213	171	291	309	317	362	351
	171	291	309	317	362	351	361

Вычисляем необходимые суммы:

Теперь по формцуле (4) коэффициент автокорреляции

Вычисление коэффициента автокорреляции временного ряда для лага т. е. коэффициента корреляции между последовательностями шести пар наблюдений и , т. е.

	213	171	291	309	317	362
	291	309	317	362	351	361

предлагаем провести самостоятельно.

11.3. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда (выделение неслучайной компоненты)

Одной из важнейших задач исследования временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей (тренда либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой).

Для решения этойзадачи вначале необходимо выбрать вид функции . Наиболее часто используются функции:

линейная -

полиномиальная -

экспоненциальная -

логистическая -

Гомперца - где

Это весьма отвественный этап исследования. При выборе функции используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). При выборе полиномиальной функции может быть применен метод последовательных разностей (состоящий в вычислении разностей первого порядка второго порядка и т. д., и порядков разностей, при котором они будут примерно одинаковыми, принимается за степень полинома).

Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений, т. е. и функция наиболее простая.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наимеьших квадратов, рассмотренный в п. 9.2. При этом значения временного ряда или рассматриваются как зависимая переменная, время как объясняющая: