Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 6 )

2.  Математическое ожидание возмущения равна нулю:

(iii)

(или математическое ожидание зависимой переменной равно линейной функции регрессии:

3.  Дисперсия возмущения (или зависимой переменной постоянна для любого

(iiii)

(или условие равноизменчивости возмущения (зависимой переменной)).

4.  Возмущения и (или переменные и ) не коррелированы:

(iiiii)

5.  Возмущение (или зависимая переменная ) есть нормально распределенная случайная величина.

Для получения уравнения регрессии достаточно первых четырех предпосылок.

Требование выполнения пятой предпосылки необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Оценкой модели (ii) по выборке является уравнение регрессии Параметры этого уравнения и определяются на основе метода наименьших квадратов, который будет изложен ниже.

Воздействие нучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (ii)

определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия

(*)

где групповая средняя, найденная по уравнению регрессии; выборочная оценка возмущений или остаток регрессии.

В знаменателе выражения (*) стоит число степеней свободы а не так как две степени свободы теряются при определении двух параметров прямой и

Данные о статистической зависимости признаков и удобно задавать в виде корреляционной таблицы.

Рассмотрим в качестве примера зависимость между суточной выработкой продукции (т) и величиной основных производственных фондов (ОПФ)(млн. руб.) для совокупности 50 однотипных предприятий (табл. 19).

Таблица 19

Величина ОПФ (млн. руб)	Середины интервалов \	Суточная выработка продукции, т (Y)	Всего	Групповая средняя, т
7-11	11-15	15-19	19-23	23-27
9	13	17	21	25
20-25 25-30 30-35 35-40 40-45	22,5 27,5 32,5 37,5 42,5	2 3 - - -	1 6 3 1 -	- 4 11 2 -	- - 7 6 1	- - - 2 1	3 13 21 11 2	10,3 13,3 17,8 20,3 23,0
Всего	5	11	17	14	3	50	-
Групповая средняя млн. руб	25,5	29,3	31,9	35,4	39,2	-	-

(В таблице и - середины соответствующих интервалов, и - соответственно их частоты).

На рис. 17 и 18 представлены эмпирические линии регрессии (групповых средних) в системах координат Y по Х и Х по У соответстенно.

Рис.17

Рис. 18

В таблице групповые средние по и вычислены соответственно по формулам:

(5) и , (6) где частоты пар и число интервалов по переменной число интервалов по переменной

По виду ломаных можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости по и по между двумя рассматриваемыми переменными, которая графически выражается тем точнее, чем больше объем выборки (*)

Поэтому уравнение регрессии (3) будем искать в виде:

(7)

Методом наименьших квадратов (МНК) найдем формулы расчета неизвестных параметров и уравнения линейной регрессии (7).

Согласно МНК неизвестные параметры и выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических групповых средних , вычисленных по формуле (6), от значений найденных по уравнению регрессии (6), была минимальной:

. (8)

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных приравниваем к нулю ее частные производные, т. е.