Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 23 )

(5)

где возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, приведенным в п. 9.2, т. е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Согласно методу наимеьших квадратов параметры прямой находятся решением системы нормальных уравнений

в которой в качестве берем а

В математике известно, что

(6)

Пример 2. По данным табл. 32 найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда полагая тренд линейным

Решение. По формуле (6):

Далее

Система нормальных уравнений имеет вид:

где и уравнение тренда , т. е. спрос ежегодно увеличивается в среднем на 25,7 ед. Уравнение тренда и исходные временные ряды примера представлены на рис. 21.

Проверим значимость полученного уравнения тренда по критерию на 5% - ом уровне значимости. Для этого вычислим по формулам (А) и (В) п. 9.4

(А)

(В)

суммы квадратов:

а) обусловленную регрессией

б) общую

в) остаточную -

Найдем по формуле (G) п.9.4

значение статистики, где

Так как (см. табл. 9 приложений), то уравнение тренда значимо.

При применении метода наименьших квадратов для оценки параметров экспоненциальной, логистической функции или функции Гомперца возникают сложности с решением получаемой системы нормальных уравнений, поэтому предварительно, до получения соответствующей системы, прибегают к некоторым преобразованиям этих функций с тем, чтобы привести их к линейному виду (например, логарифмированию, замене переменных и др.).

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользяших средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Полученный таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда оеоло своего среднего (сглаженного) значения характеризуется дисперсией то разброс средней из членов временного ряда около того же значения будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др.

Пример 3. Провести сглаживание временного ряда по данным табл. 32 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания года.

Решение. Скользящие средние находим по формуле:

(7)

когда нечетное число; при

Например, при по формуле (7):

(ед.); при (ед.) и т. д.

В результате получим сглаженный ряд:

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос,	-	225	257,0	305,7	329,3	343,3	358,0	-

Графики исходного временного ряда и его сглаженных значений представлены на рис. 22.

Рис.22

11.4. Временные ряды и прогнозирование. Автокорреляция возмущений

Одна из важнейших задач (этапов) анализа динамического временного ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд ( и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент

Задача прогнозирования значений зависимой переменной может быть решена с помощью моделей парной и множественной регрессии для значений объясняющих переменных расположенных вне пределов обследованного диапазона значений

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы регрессионного анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным.

Действительно, если вид функции тренда выбран неудачно, то вряд ли можно говорить о том, что отклонения от нее (возмущения ) являются независимыми. В этом случае наблюдается заметная концентрация положительных и отрицательных возмущений, и можно предположить их взаимосвязь. Если последовательные значения коррелируют между собой, то говорят об автокорреляции возмущений (остатков, ошибок).