Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 3 )

Итак, фактически наблюдаемое значение статистики

Так как новое число интервалов (с учетом объединения крайних) а нормальный закон распределения определяется параметрами ( и , то число степеней свободы Соответствующее критическое значение статистики по табл. приложений Так как , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.

Критерий Колмогорова. На практике кроме критерия согласия часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения (это накопленные частости)

(1)

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения непрерывной с. в. Х, при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу

. (2)

Задавая уровень значимости из соотношения

(3)

можно найти соответствующее критическое значение (см. табл.15 ).

Таблица 15

Уровень значимости 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0.0005

Критическое Значени е 0,89 0,97 1,07 1,22 1,36 1,48 1,63 1,73 1,95 2,03

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения .

2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением по формуле (1) и вычисляется величина

(4)

3. Если вычисленное значение окажется больше критического определенного на уровне значимости то нулевая гипотеза о том, что с. в. имеет заданный закон распределения, отвергается. Если то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Пример. По данным предыдущего примера и табл. с помощью критерия Колмогорова на уровне значимости проверить гипотезу о том, что с. в. - выработка рабочих предприятия – имеет нормальный закон распределения с параметрами т. е. Значения эмпирической функции распределения или накопленной частости вычислены и приведены в табл.

Для построения теоретической функции распределения для нормального закона воспользуемся ее выражением через функцию Лапласса:

Например, и т. д.

Результаты вычислений сведены в табл. 16 , а графики функций распределений представлены на рис.16

Таблица 16

	94	100	106	112	118	124	130	136	142
|D|	0,010 0,004 0,006	0,030 0,021 0,009	0,100 0,080 0,020	0,210 0,221 0,011	0,410 0,449 0,039	0,690 0,695 0,005	0,880 0,878 0,002	0,980 0,964 0,016	1,000 0,993 0,007

Из таблицы следует, что

По формуле величина Критическое значение критерия Колмогорова по табл.15 равно Так как то гипотеза согласуется с опытными данными. Гипотеза о том, что выборка принадлежит нормальному закону распределения не отвергается.

рис. 16

Критерий Колмогорова применяется на практике благодаря своей простоте, но в принципе его применение возможно лишь тогда, когда теоретическая функция распределения задана полностью (вид функции и его параметры), что встречается не часто. Обычно из теоретических соображений известен лишь вид функции распределения, а ее параметры определяются по эмпирическим данным. При применении критерия это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы. Такого рода поправок в критерии Колмогорова не предусмотрено. Поэтому, если при неизвестных значениях параметров применить критерий Колмогорова, взяв за значение параметров их оценки, то получим завышенное значение вероятности, а значит, большее критическое значение В результате есть риск в ряде случаев принять нулевую гипотезу о законе распределения с. в. как правдоподобную, в то время как на самом деле она противоречит опытным данным.

Проверка гипотез об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения и . Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей Будем предполагать, что функции и непрерывны.