Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 14 )

Частный коэффициент корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на величине парного коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких других переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции между переменными и при фиксированных значениях остальных переменных называется выражение

(18)

где и алгебраические дополнения элементов и матрицы В частности, в случае трех переменных из (18) следует, что

(19)

Частный коэффициент корреляции как и парный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до 1. Кроме того, вычисленный на основе выборки объема имеет такое же распределение, что и вычисленный по наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффициента корреляции оценивают так же, как и коэффициент корреляции (см. 9.4 ), но при этом полагают

Пример 6. Для исследования зависимости между производительностью труда , возрастом и производственным стажем была произведена выборка из 100 рабочих одной и той же специальности. Вычисленные парные коэффициенты корреляции оказались значимыми и составили: Вычислить множественный коэффициент корреляции частные коэффициенты корреляции и оценить их значимость на уровне

Решение. По формуле (16) вычислим множественный коэффициент корреляции:

т. е. между производительностью труда, с одной стороны и возрастом и производственным стажем рабочих – с другой, существует заметная связь. Множественный коэффициент детерминации показывает, что вариация производительности труда рабочих лишь на 22,5% объясняется вариацией из возраста и производственного стажа.

Для оценки значимости по формуле (17) вычислим

и по таблицам распределения найдем Так как то значимо отличается от нуля. По формуле (19) вычислим частные коэффициенты корреляции:

и аналогично

Оценим значимость В формуле условно полагаем Тогда

По таблице критерия Стъюдента находим Так как то частный коэффициент корреляции значим. Тем более будут значимы большие коэффициенты и .

Сравнивая частные коэффициенты корреляции с соответствующими парными коэффициентами видим, что за счет элиминирования (“очищения связи“) наибольшему изменению подвергся коэффициент корреляции между производительностью труда и возрастом рабочих (изменилась не только его величина, но даже и знак: при парной корреляции - при частной корреляции - оба эти коэффициенты значимы).

Замечания.

1.  Корреляция как формальное статистическое понятие сама по себе не вскрывает причинного характера связи между переменными. При этом нельзя указать. Какую переменную принять в качестве причины, а какую - в качестве следствия.

2.  Не существует общеупотребительного критерия проверки определенного требования корреляционного анализа – нормальности многомерного распределения переменных. При этом полагают, что отнесение к совместному нормальному закону возможно, если частные распределения переменных не противоречат нормальным распределениям.

3.  Для проверки линейности связи пары признаков можно использовать расхождение между квадратами эмпирического корреляционного отношения и коэффициента корреляции учитывая, что статистика

(20)

( число наблюдений, число группировочных интервалов) имеет распределение с и степенями свободы.

Пример. По данным табл. 19 на уровне значимости проверить гипотезу о линейности корреляционной зависимости между переменными и

Решение. Имеем В примере 2 было получено а в примере 5 По формуле (20)

Так как (см. табл. 9 приложений), то гипотеза о линейности корреляционной зависимости между и не отвергается.