Проверка гипотез о числовых значениях параметров (стр. 4 )

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова, но только в критерии Колмогорова сравниваются эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

(1)

где и эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов и

Гипотеза отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического т. е. и принимается в противном случае.

При малых объемах выборок критические значения для заданных уровней значимости критерия можно найти в специальных таблицах. При и

(практически при распределение статистики сходится к распределению Колмогорова для статистики Поэтому гипотеза отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического т. е. и принимается в противном случае.

Пример. В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты двух проверок по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в табл. 17.

Таблица 17

Номер интервала	Интервалы недовесов, г	Частоты
для выборки 1	для выборки 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9	0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90	3 10 15 20 12 5 25 15 5	5 12 8 25 10 8 20 7 5

Можно ли считать, что на уровне значимости по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

Решение. Обозначим и накопленные частоты соответственно выборок 1 и 2; значения их эмпирических функций распределения. Результаты вычислений сведены в табл. 18

Таблица 18

10 20 30 40 50 60 70 80 90	3 13 28 48 60 65 90 105 110	5 17 25 50 60 68 88 95 100	0,027 0,118 0,254 0,436 0,545 0,591 0,818 0,955 1,000	0,050 0,170 0,250 0,500 0,600 0,680 0,880 0,950 1,000	0.023 0,052 0,004 0,064 0,055 0,089 0,072 0,005 0,000

Из последнего столбца видно, что

По формуле (1) наблюдаемое значение статистики при

По табл. 15 при

Так как , то нулевая гипотеза не отвергается.

Это означает, что недовесы покупателям описываются одной и той же функцией распределения, т. е. они являются устойчивым и закономерным процессом при продаже овощей в данном городе.

Наряду с рассмотренными, в математической статистике используются также ранговые критерии однородности, например, критерии Вилкоксона-Манна-Уитни, Крускала-Уоллиса и др.

9. Корреляционно-регрессионный анализ

9.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости (связи),

когда каждому значению одной переменной строго соответствует одно или несколько значений другой переменной и с изменением значения значение меняется строго определенно. Такие связи называются детерминированными. Детерминированные связи имеют место в математике, физике и др. Детерминированные связи можно встретить и в области экономических явлений. Например, зависимость стоимости проданных изделий от их числа и т. п.

В экономике, экологии и др. в большинстве случаев между переменными

величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствуют не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствуют определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость (связь) получила название статистической (или стохастической, вероятностной).

Понятие статистической связи обусловливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками. Например, статистически связаны урожайности культур от количества внесенных удобрений, производительность труда на предприятии от его энерговооруженности и т. п.

Определение. Статистическая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой, называется корреляционной.

Иначе, корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде:

(1) или . (2)