Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 10 )

(9.7)

Подставляя зависимость (9.5) в (9.7), получаем

(9.8)

интеграл является полярным моментом инерции сечения см. формулу (8.2). Соответственно подставляя (8.2) в (9.8) получаем Мкр = GθIр, откуда

(9.9)

подставляя (9.9) в зависимость (9.5) получаем выражение для определения касательных напряжений в произвольной точке поперечного сечения круглого вала

(9.10)

соответственно, касательные напряжения достигают наибольших значений при ρ = r

(9.11)

Полярный момент инерции сечения для круга Iр = πd 4/ 32 ≈ 0,1d 4, где d – диаметр круга.

Отношение полярного момента инерции к радиусу сечения, называют полярным моментом сопротивления

Wр = Iр / r = Iр / 0,5d, (9.12)

подставив в (9.12) значение полярного момента инерции для круга, получаем Wр = πd 4/(32·0,5 d) = π d 3/16 ≈ 0,2 d 3.

По зависимостям (9.3) и (9.9) определяем угол закручивания

(9.13)

Угол закручивания φ выражается в радианах. Его следует определять на всех участках, где изменяются значения Мкр или Iр, затем полученные результаты суммируют.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Прочность при кручении бруса круглого сечения определяется условием

(9.14)

где [τкр] – допускаемые касательные напряжения стали на сдвиг при кручении, (зависимость (9.14) учитывает, что детали машин рассчитывают по допускаемым напряжениям). Допускаемые напряжения зависят от марок сталей и учитывают вид термической обработки, которой подвергалась сталь, а так же вид нагрузок (статические, переменные, знакопеременные). Так, сталь 30 имеет допускаемые напряжения, которые могут иметь значения [τкр] = 70…150 МПа; сталь 40 – [τкр] = 75…250 МПа; Wp – полярный момент сопротивления см. (9.12).

Жесткость вала получают в радианах на метр длины и проверяют по формуле

(9.15)

где допускаемый относительный угол закручивания принимают в зависимости от назначения вала [θ] = (0,45÷1,75)·10 – 2 рад / м, что соответствует [θ] = (0,25÷1,0) град / м.

Применяя формулу (9.14) можно задавшись сталью подбирать сечение вала, и определить его диаметр, через требуемый момент сопротивления Wртреб = Мкр / [τкр], либо проверить прочность имеющегося вала, или определить крутящий момент который способен выдерживать вал.

По формуле (9.15) после определения прочности вала следует проверять его жесткость.

Пример 9.2. По данным примера 9.1 подобрать диаметр вала. Вал имеет постоянный диаметр по всей длине и выполнен из стали с допускаемым напряжением [τкр] = 70 МПа = 7 кН/см2 и модулем сдвига G = 0,78·105 МПа = 0,78·104 кН/см2. Допускаемый относительный угол закручивания [θ] = 1·10 – 2 рад / м = 1·10 – 4 рад / см.

Решение. Анализируя эпюру крутящих моментов изображенную на рис. 9.2 видим, что крутящий момент, имеющий наибольшее абсолютное значение Мкр, max = 1100 Н·м = 110,0 кН·см. Требуемый момент сопротивления Wртреб = Мкр / [τкр] = 110,0 / 7,0 = 15,71 см3. Выражая момент сопротивления через диаметр вала Wр ≈ 0,2d3, определяем его диаметр

По условию жесткости также можно определить требуемый диаметр вала, используя формулу 9.15 и подставляя полярный момент инерции через диаметр

Принимаем диаметр вала по наибольшему требуемому значению d = 62 мм.

Задача 9.2. Проверить прочность и жесткость вала, на который действует максимальный крутящий момент Мкр, max = 2800 Н·м; Допускаемые напряжения стали [τкр] = 75 МПа. Модуль сдвига G = 0,78·105 МПа = 0,78·104 кН/см2. Допускаемый относительный угол закручивания [θ] = 1·10 – 2 рад / м. Диаметр вала d = 12 см.

Задача 9.3. Определить максимальные напряжения в сечении вала диаметром d = 20 см, на который действует крутящий момент Мкр,,max = 3200 Н·м.

Прямой поперечный изгиб

10.1.

 

Общие понятия

Прямым поперечным изгибом называются деформации бруса (свободно лежащего, либо закрепленного на опорах) вызванные силами, или парами сил, действующими поперек его продольной оси. Брус, работающий на изгиб называют балкой, иногда балкам дают названия в зависимости от места их применения (ригели, прогоны, стропила и т. д.). В случае если силы лежат в одной плоскости (называемой силовой плоскостью), изгиб считается плоским. Если силовая плоскость перпендикулярна одной из главных осей сечения бруса, такой изгиб называют прямым поперечным изгибом. Строительные конструкции чаще всего работают на прямой поперечный изгиб (рис. 10.1,а,б).

 

Изгиб так же может происходить одновременно относительно двух главных осей сечения, тогда его называют косым изгибом.

Поперечные силы и изгибающие моменты при прямом поперечном изгибе

В поперечном сечении балки, при прямом поперечном изгибе возникают два силовых фактора, это поперечная сила и изгибающий момент.

При расчете, для определения опорных реакций и возникающих силовых факторов в сечениях балки, ее фактическая конструкция (конструктивная схема) заменяется расчетной схемой. В расчетной схеме объемное изображение балки заменяется продольной осью балки, которая совпадает с центрами тяжести ее поперечных сечений. Реальные опоры заменяются связями, шарнирно-неподвижной и шарнирно подвижной (бывают и другие варианты опор, о которых будем говорить позже). Опорные шарниры расчетной схемы располагают в центрах опорных площадок (рис. 10.2).

Расстояние между опорными шарнирами называют расчетным пролетом балки (см. раздел 4.4. «Теоретическая механика»). В консолях расстояние от края заделки до края свободного конца консоли называют вылетом консоли.

 

По расчетной схеме, применяя уравнения статики, вначале определяют опорные реакции балки (см. параграф 4.4.3 Теоретической механики), а затем приступают к определению внутренних усилий в различных ее сечениях.

Рассмотрим определение внутренних усилий в балке изображенной на (рис. 10.3).

 

Для этого в балке мысленно проводят поперечное сечение на расстоянии z от опора А и отбрасывают правую часть. Чтобы обеспечить равновесие оставшейся части балки заменяют действие отброшенной части внутренними усилиями. При прямом поперечном изгибе все силы лежат в одной плоскости, и соответственно они могут проектироваться на оси y и z и не проектируются на ось х, лежащую перпендикулярно силовой плоскости. В то же время, изгибающие моменты в поперечных сечениях действуют относительно оси х. В любом поперечном сечении балки все внутренние усилия могут быть заменены, одной поперечной силой Q и одним изгибающим моментом М (см. рис. 5.8,б).

Для определения поперечных сил и изгибающих моментов проводим сечение, в месте где хотим установить их значение, и составляем уравнения равновесия. Так для левой части балки (рис. 10.3) в сечении 1-1 проекция всех сил и опорных реакций на ось у равна нулю: ∑Y = 0; VА – F1 – F2 – Q лев = 0; отсюда, Q лев = VА – F1 – F2.

Сумма моментов от внешних и внутренних сил относительно точки пересечения осей балки в сечении 1-1 равна нулю: ∑M1-1 = 0; VА z – F1(z – а) – F2(z – а – b) – М лев = 0; М лев = VА z – F1(z – а) – F2(z – а – b).

Поперечную силу и изгибающий момент в сечении можно так же определять и из равновесия правой части балки. Поперечные силы и изгибающие моменты в поперечном сечении для левой и правой частей балки равны по числовым значениям и всегда разнонаправлены |Q лев| = |Q прав|; |М лев| = |М прав| (рис. 10.3,б).

Поперечная сила в любом поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил (включая реакции) на ось y, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Для удобства проектирования сил ось y можно располагать в сечении, в котором хотят определить поперечную силу и принимают правила знаков показанные на рисунке 10.4 – если внешняя сила или реакция стремится повернуть отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматриваемого сечения, то она вызывает положительную поперечную силу, если против – отрицательную.