Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 20 )

Определяем фактические значения моментов сопротивления и проверяем прочность

Wx = bh2/ 6 = 15·252/ 6 = 1562,5 см3; Wy = h2b/ 6 = 25·152 = 937,5 см2;

Прочность обеспечена.

Для определения прогибов определяем моменты инерции сечения

Ix = bh3/ 12 = 15·253/ 12 = 19531,3 см4; Iy = hb3/ 12 = 25·153/ 12 = 7031,3 см4.

суммарный прогиб:

Прогиб ограничивается конструктивным прогибом: в СНиП 2.01.07-85*«Нагрузки и воздействия» для прогонов принят предельный конструктивный прогиб fu = l / 150 = 400/ 150 = 2,67 см. Фактический прогиб меньше предельного f = 1,93 см < fu = 2,67 см, условие выполняется. Аналогично прогонам работает обрешетка на покрытиях зданий.

Задача 12.1. По данным примера 10.1 подобрать прогоны, выполненные из стальных швеллеров. Сталь швеллеров С245, Ry = 240 МПа; γс = 1,0.

Прямой изгиб с осевым растяжением

На конструкцию могут одновременно действовать изгибающие и растягивающие нагрузки. В этом случае в сечениях возникает сложное напряженное состояние. Например, к консольной балке приложена сила, лежащая в вертикальной плоскости балки и направленная наклонно к ее продольной оси (рис. 12.3).

Разложим силу F на составляющие, действующие вдоль продольной оси – Fz и поперек оси – Fy. Составляющая Fz растягивает балку и вызывает в ее поперечных сечениях площадью А нормальные напряжения σN = N/А, где продольная сила N = Fz. Составляющая Fy изгибает балку и вызывает появление растягивающих и сжимающих напряжений по сечению балки σМ = (М / Ix)y, где М изгибающий момент М = Fy z; Ix момент инерции сечения относительно оси изгиба балки; y – расстояние от оси x до волокна в котором определяют напряжение. Возникающей при изгибе поперечной силой обычно пренебрегают.

 

Суммарные напряжения, возникающие в произвольном волокне балки, определяют по формуле

(12.5)

По значениям напряжений проверяют прочность элемента

(12.6)

где Wx момент сопротивления; знак плюс дает максимальное значение напряжений знак минус минимальное.

Внецентренное сжатие

Формулы (12.5) и (12.6) справедливы и в случае сжатия элемента силой Fz, с одновременным действием изгибающего момента по одной из главных осей сечения. При этом элемент должен обладать достаточно большой жесткостью. Брус можно считать жестким при отношении его высоты к меньшей стороне сечения до 8….10. Подобный тип сжатия часто называют внецентренным сжатием.

 

Так как если силу приложить не в центре тяжести сечения, а сместить ее по оси сечения на эксцентриситет e0, то она одновременно со сжатием вызывает в конструкции изгибающий момент (см. п. 4.1.1 Теоретической механики). Внецентренному сжатию часто подвержены колонны, фундаменты, стены и другие строительные конструкции. При внецентренном сжатии возникают только нормальные напряжения σ.

Рассмотрим работу элемента представленного на рис. 12.4. Внутреннее продольное усилие в сечениях элемента равно внешней силе F, которая будучи смещенной по оси х на эксцентриситет e0 вызывает появление изгибающего момента Мy = Fe0 относительно оси y. Чем дальше от продольной оси находится сила, тем больше изгибающий момент. В поперечных сечениях элемента могут возникать три варианта эпюр напряжений (три варианта напряженно-деформированного состояния): когда напряжения σmin> 0; σmax> 0 – все сечение элемента сжато; σmin= 0; σmax> 0 – все сечение сжато, на одной из сторон сечения напряжение равно нулю; σmin< 0; σmax> 0 – часть сечения растянуто, часть сжато. Значения напряжений определяем по формуле (12.6), учитывая, что изгиб происходит относительно оси у (рис. 12.4) где Wy момент сопротивления площади сечения относительно оси изгиба Wy = bh2/6; А площадь сечения элемента.

В случае если изгиб будет проходить относительно оси x, (сила сдвинута от центра сечения элемента по оси y) необходимо и момент сопротивления в формуле брать относительно оси x.

Пример. 12.2. Проверить прочность жесткого кирпичного столба в сечении 1-1 (на уровне фундамента) и определить напряжения, возникающие под подошвой фундамента (рис. 12.5). Нагрузка на столб от вышележащих конструкций F = 350 кН приложена с эксцентриситетом e0 = 0,08 м относительно центра тяжести сечения. Кирпичный столб выполнен из кирпича М150 на цементно-известковом растворе М75 и способен выдерживать напряжения, не превышающие расчетного сопротивления кирпичной кладки R = 2,0 МПа = 0,2 кН/см2. Размеры столба в его сечении принимаем кратно размерам кирпича b = 510 мм, h = 640 мм, высота столба l = 2,0 м. При расчете прочности столба дополнительно к внешним нагрузкам F следует добавить его собственный вес Fст. Вес столба определяют через его объем и удельный вес кирпичной кладки γк. кл = 19 кН/м3, а так же учитывают возможность отклонения веса столба от его проектных значений через коэффициент γf = 1,1. И соответственно, определяя давление под фундаментом, учитывают его вес Ff. Объем фундамента под кирпичным столбом Vf = 0,683 м3, плотность железобетона фундамента γж. б = 25 кН/м3, коэффициент γf = 1,1. Размеры подошвы фундамента hf = 1,3 м, bf = 1,2 м. Фундамент опирается на грунт с расчетным сопротивлением грунта R = 300 кПа.

 

Решение. При приведении нагрузки F к центру тяжести сечения столба возникает главный момент, находим его значение М = Fe0 = 350·0,08 = 28 кН·м = 2800 кН·см. Определяем объем столба Vстолба= bhlст = 0,51·0,64·2,0 = 0,653 м3. Вес столба Fст = Vстолба· γк. кл· γf = 0,653·19·1,1 = 13,65 кН. Суммируем внешнюю продольную силу и вес столба в сечении 1-1, получаем внутреннее усилие N = F + Fст. = 350 + 13,65 = 363,65 кН.

Определяем площадь сечения 1-1 и его момент сопротивления относительно оси изгиба: А = bh = 51·64 = 3264 см2; Wy = bh2/6 = 51·642/ 6 = 34816 см3. По формуле (10.6) рассчитываем возникающие в сечении напряжения

Напряжения в кирпичной кладке не превышают расчетного сопротивления, следовательно, прочность кирпичной кладки обеспечена.

Давление на грунт под подошвой фундамента возникает от внешних нагрузок приложенных к столбу, а так же от веса столба и веса фундамента. Вес фундамента Ff = Vf ·γж. б·γf = 0,683·25·1,1 = 18,78 кН. Суммарное продольное усилие N = F + Fст + Ff = 350 + 13,65 + 18,78 = 382,43 кН. Момент, возникающий от внецентренного действия внешних сил, такой же, как в сечении 1-1: М = Fe0 = 350·0,08 = 28 кН·м = 2800 кН·см. Напряжения под подошвой фундамента определяют по площади и моменту сопротивления подошвы фундамента, обычно давление на грунт измеряют на один квадратный метр, поэтому считаем в метрах: Аf = bf аf = 1,3·1,2 = 1,56 м2, Wyf = bf·аf2/6 = 1,2·1,32/ 6 = 0,338 м3. Наибольшее давление на грунт под фундаментом обычно не должно превышать 1,2·R, где R – расчетное сопротивление грунта

Размеры подошвы фундамента достаточны, они обеспечивают допустимое давление на грунт. Характер эпюры давлений на грунт аналогичен эпюре напряжений в сечении столба.

Задача 12.2. Определить напряжения на грунт и построить эпюру давлений (напряжений) под подошвой фундамента. На подошву фундамента действует сила F = 800 кН с эксцентриситетом e0 = 0,035 м (рис. 12.6). Размеры подошвы фундамента аf = 1,8 м, bf = 1,5 м, Весом фундамента пренебречь.

 

Ядро сечения

В сечении внецентренно сжатого элемента можно выделить область, приложение продольной силы в пределах которой, приводит к возникновению напряжений одного знака во всем поперечном сечении, но если выйти за пределы этой области возникнут как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Такая область находится вблизи центра тяжести сечения и называется ядром сечения.

Для нахождения границ ядра сечения совместим нейтральную линию со стороной прямоугольного сечения (рис. 12.7).