Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 5 )

Решение.

1. Построение эпюры «N»

Разбиваем стержень на три участка, с границами в местах приложения сил. Определяем значение продольных усилий в пределах каждого участка (см. примеры 6.1, 6.2). N1 = F1 = – 380 кН; N2 = – F1 + F2 = – 380 + 930 = 550 кН; N3 = – F1 + F2 – F3 = – 380 + 930 – 820 = – 270 кН. Реакция в заделке стержня VБ = – 270 кН. Строим эпюру N (рис. 6.9,б).

2. Построение эпюры «σ»

По формуле (6.3) вычисляем напряжения для участков, в которых меняются усилия N или сечение стержня:

σ1 = N1/А1 = – 380/4 = – 95 кН/см2 = – 950 МПа; σ2 = N2/А1 = 550/4 = 137 кН/см2 = 1370 МПа; σ3 = N2/А2 = 550/20 = 27,5 кН/см2 = 275 МПа; σ4 = N3/А2 = – 270/20 = – 135 кН/см2 = – 1350 МПа. Строим эпюру σ, откладывая значения напряжений на участках, в пределах которых они действуют (рис. 6.9,в).

 

3. Построение эпюры «δ»

Эпюра перемещений δ показывает, как удлинится или укоротится каждый участок стержня. Построение эпюры начинают с закрепленного конца стержня, который никуда не сместится при действии на него сил. Величины перемещений см. формулу (6.8) равны абсолютным деформациям участка δ = Δl = N z / ЕА.

Длину каждого участка обозначаем по величине ординаты li = zi. Определяем значение ординат z снизу от заделки вверх: z1 = 110 см, z2 = 80 см, z3 = 50 см, z4 = 150 см.

Определяем перемещения каждого участка:

δ1 = – N1 z1 / ЕА2 = – 270·110/2,06·104·20 = – 0,072 см = – 0,72 мм;

δ2 = N2 z2 / ЕА2 = 550·80/2,06·104·20 + δ1 = 0,107 см + (– 0,072) см = 0,035 см = 0,35 мм;

δ 3 = N2 z3 / ЕА1 = 550·50/2,06·104·4 + δ2 = 0,334 см + 0,035 = 0,369 см = 3,69 мм;

δ4 = – N3 z4 / ЕА1 = – 380·150/2,06·104·4 + δ3 = – 0,692 см + 0,369 = 0,323 см = – 3,23 мм.

По полученным данным строим эпюру δ (рис. 6.9,г). Сложив все полученные значения получим общее значение перемещения верхней части стержня δ = δ1 + δ2 + δ3 + δ4 = ( – 0,72) + 0,35 + 3,69 + (– 3,23) = 0,09 мм. Знак плюс показывает, что стержень удлинится.

Задача 6.3. Построить эпюры продольных сил; нормальных напряжений; относительных деформаций для стержня (рис. 6.10). На стержень действуют силы: F1 = 450 кН, F2 = 380 кН. Сечение стержня двутавр I № 20 Ш1, А = 39,95 см2. Длина стержня l = 355 см. Места приложения сил см. рис. 6.10. Материал стержня строительная сталь С245.

 

Механические испытания строительных материалов

Испытание стали. Диаграмма растяжения стали

Поведение стали в конструкциях, при воздействии на них нагрузок, определяют в результате механических испытаний стальных образцов (рис. 6.11,в). Обычно образцы подвергаются осевому растяжению. Результаты испытаний представляют в виде диаграммы, в которой по оси абсцисс откладывают относительные деформации, а по оси ординат напряжения.

Пластичные стали имеют площадку текучести. К пластичным сталям относят, малоуглеродистые стали с содержанием углерода 0,1 – 0,3 %. В сталях повышенной и высокой прочности (содержащих углерода более 0,3 %) площадка текучести отсутствует (рис. 6.12).

На диаграмме работы малоуглеродистой стали на растяжение, можно выделить три участка работы: 1 участок упругой работы; 2 участок пластической работы; 3 участок упруго-пластической работы (рис. 6.11,а).

В большинстве простейших расчетов, считается, что сталь работает в пределах первого участка – упруго, и ее работа соответствует идеализированной диаграмме, в которой до предела текучести сталь работает упруго, а затем наступает бесконечное удлинение.

Напряжения в элементах не должны превышать предел текучести σy. Учитывая возможные их отклонения от расчетных значений, напряжения ограничиваются расчетными сопротивлениями Ry, которые назначаются меньше предела текучести, (рис. 6.11,б).

Геометрически, модуль упругости Е соответствует тангенсу угла наклона первого участка диаграммы, Е = tgα, но физический его смысл, это напряжение при относительном удлинении образца равном единице.

Полное относительное удлинение в точке А (рис. 6.11,а) состоит из упругих и пластических относительных удлинений

ε = εe + εpl, (6.9)

где εe – упругое относительное удлинение (исчезает после снятия внешней нагрузки на образец); εpl – пластическое относительное удлинение (остается после снятия нагрузки на образец), т. е. образец становится длиннее по сравнению с его первоначальной длинной.

 

Стали высокой прочности имеют значительно большее временное сопротивление σu, чем малоуглеродистые стали (рис. 6.12). Отсутствие при их работе площадки текучести затрудняет установление для них ограничителя несущей способности, которым для малоуглеродистых сталей является предел текучести. Поэтому принято, что как только сталь достигла остаточного удлинения равного 0,2 процентам от первоначальной длины образца εpl = 0,2%, вызвавшие такое остаточное удлинение напряжения, принимают за условный предел текучести, и обозначают σ02.

Остаточное удлинение возникают за счет пластических деформаций и остаются после снятия нагрузки, т. е. образец остается вытянутым, в то время как упругие деформации исчезают после снятия нагрузки. Полное удлинение образца εА при напряжении σ02 состоит из упругих εe и пластических деформаций εpl.

 

Испытание других материалов

Пластичные материалы перед разрушением получают значительные деформации (растягиваются), тем самым как бы сигнализируя о своем состоянии. Понятие пластичность противоположно понятию хрупкость. Хрупкость это свойство материалов разрушаться при очень малых остаточных деформациях, т. е. без внешних проявлений. Так чугун приближается по своей работе к хрупким материалам (рис. 6.13).

Еще раз отметим, что основное различие между пластичными и хрупкими материалами состоит в том, что пластичные материалы перед разрушением претерпевают значительное изменение форм и размеров, а хрупкие материалы разрушаются при малозаметных деформациях.

 

Пластичные материалы одинаково хорошо работают и на растяжение и на сжатие, а хрупкие материалы значительно хуже работают на растяжение, чем на сжатие. К хрупким материалам так же относят бетоны и другие каменные материалы. В основном они применяются для работы на сжатие. При испытании таких материалов на растяжение они показывают меньшую (в 10…11 раз) прочность, чем на сжатие. При испытании на сжатие, образцы материалов в виде кубов, призм, цилиндров разрушают в прессе.

Хрупкость материалов зависит от скорости приложения на них нагрузок, часто пластичный материал, при ускоренном (быстром) нагружении становится хрупким. Хрупкость материалов может так же увеличивается при понижении температур и в ряде других случаях.

Диаграммы разных материалов могут резко отличаться. Так разрушение бетона при сжатии происходит при напряжениях σu = 7,5…..50 МПа, в то время как разрушение малоуглеродистой стали происходит при напряжениях σu ≈ 370 МПа. Разрушение высокопрочных сталей происходит при напряжениях σu = 800 МПа и более, превышая тем самым прочность бетонов на сжатие в 100 раз, а на растяжение в 1000 раз.

Расчетные сопротивления материалов ограничивают возникающие в конструкциях напряжения, для некоторых материалов их значения приведены в табл. 6.2.

Расчет прочности центрально-растянутого (сжатого) элемента

Расчет на прочность центрально-растянутых и центрально сжатых стальных элементов производят по формуле

(6.10)

где σ – напряжения возникающие в элементе; N – усилие в поперечном сечении элемента, возникающее от внешних нагрузок; Ry – расчетное сопротивление стали принятое по пределу текучести; γс – коэффициент условия работы элемента; Аn – площадь сечения нетто. Если элемент не имеет ослаблений, то его площади сечения, брутто и нетто, равны А = Аn.

При расчете прочности элементов выполненных из других материалов используется формула (6.10), но расчетные сопротивления обозначают в соответствии с обозначениями, приведенными в таблице 6.2. Так при расчете деревянных конструкций, вместо Ry следует подставлять: при растяжении стержня Rр, при сжатии Rсж. Значения расчетных сопротивлений также различаются, так как материалы обладают разной прочностью.

Расчетные сопротивления следует умножать на коэффициенты условий работы – γс, которые в дальнейших расчетах будем условно принимать равными единице, фактические значения коэффициентов будут рассмотрены в учебной дисциплине «Расчет конструкций».