Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 18 )

Третья теория прочности принимает за основной фактор, наибольшие каса­тельные напряжения (или сдвиги). Исходит из предположения, что пластическая деформация материала обусловлена необратимыми сдвигами в кристаллической решетке материала

τmax ≤ Rs, (11.6)

где Rs расчетное сопротивление срезу, Если принять наибольшие касательные напряжения и значение Rs = Rу / 2 получим

(σ1 – σ3) ≤ Ry. (11.7)

При плоском напряженном состоянии получаем уравнение

(11.8)

В случае поперечного изгиба (когда σ3 = 0) и если выразить главные напряжения через σ и τ условие прочности (9.8) можно записать в виде

. (11.9)

Эта теория хорошо подтверж­дается опытами и применима при деформировании пластичных материалов, однако она не мо­жет объяснить разрушение тела путем отрыва, при отсутствии касательных напряжений. Не всегда подтвер­ждается опытом вытекающая из этой теории одинаковая прочность при растяжении и сжатии. Опыты показывают, что сопротивление срезу Rs больше, чем Rs = Rу/2, обычно составляет (0,55…0,6)Rу, в соответствии с нормами стальные конструкции Rs = 0,58Rу. Теория применяется для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности – теория Мора, считает, что разрушение тела происходит при определенном предель­ном соотношении нормальных и касательных напряжений. Теория прочности Мора охватывает случаи, когда прочность тела при растяжении и сжатии различна. Условие прочности можно представить в виде

σ1 – νσ2 ≤ Rt, (11.10)

где ν = σu, t / σu, с; σu, t временное сопротивление материала на растяжение, σu, с временное сопротивление материала на сжатие. Для пластичных материалов ν = 1 и теория Мора превращается в третью теорию. Применяется для расчетов хрупких и хрупко-пластичных материалов.

Пятая теория прочности считает, что причиной разрушения является удельная потенциальная энергия изменения формы. Прочность не нарушается, если накопленная потенциальная энергия не превышает предельного значения. Условие прочности можно записать

(11.11)

или выразив условие через главные напряжения, получаем

(11.12)

при плоском напряженном состоянии

(11.13)

В частном случае, когда σу = 0, и считая, что σх = σ,, а τxy = τ получаем

(11.14)

Пятая теория применяется для пластичных материалов.

Существуют и другие теории прочности.

СНиП II-23-81* «Стальные конструкции» рекомендует проверять прочность листовых конструкций при отсутствии моментов по уравнению

(11.15)

а для стенок балок должны выполняться условия (9.16) и (9.17)

(11.16)

(11.17)

где – нормальные напряжения в срединной плоскости стенки, параллельные стенке балки; – нормальные напряжения, перпендикулярные стенке балки; – касательные напряжения, Ix , Iу моменты инерции сечения балки; S статический момент сечения; t толщина стенки элемента; коэффициент (1,15) в формуле (11.16) учитывает пластическую работу стали; Rs – расчетное сопротивление стали срезу: Rs = 0,58·Ry. Напряжения σх и σy принимаются со своими знаками и все напряжения, включая τxy, следует определять в одной и той же точке сечения.

При изгибе в одной плоскости, когда σy = 0, уравнения (11.15), (11.16) превращаются в уравнение (11.14).

Пример. 11.1. Подобрать сечение балки из прокатного двутавра выполненного из стали С 245 и проверить прочность подобранного сечения. Расчетное сопротивление стали Rу = 240 МПа = 24 кН/см2. Коэффициент условия работы γс = 1,0. На балку действует сосредоточенная сила F = 120 кН приложенная в середине пролета, пролет l = 6 м (рис. 11.4).

Решение. Определяем реакции, возникающие в опорах балки:

∑MА = 0; – VВ· l + F · l/2 = 0; отсюда VВ = F1/2 = 120/2 = 60 кН;

∑MВ = 0; VА· l – F· l/2 = 0; отсюда VА = F1/2 = 120/2 = 60 кН;

Проверка найденных реакций ∑Y = 0; VА – F1 + VВ = 0; 60 – 120 + 60 = 0. Условие выполняется значение найденных реакций определено правильно.

Находим наибольшее значение поперечных сил и моментов. Исходя из эпюр видно, что поперечные силы имеют значения равные опорным реакциям Qmax = 60 кН. И в середине сечения балки достигают наибольших значений как поперечные силы, так и изгибающие моменты Мmax = VА·l/2 = 60·3 = 180 кН·м. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 11.4,б).

Определяем требуемое значение момента сопротивления относительно оси х

По требуемому моменту сопротивления определяем номер двутавра. Принимаем балочный двутавр I № 40Б1, имеющий момент сопротивления Wx = 803,6 см3, момент инерции Ix = 15750 см4, статический момент половины сечения Sx = 456,0 см3, высота двутавра h = 392 мм, ширина b = 165 мм, толщина полки t = 9,5 мм = 0,95 см, толщина стенки двутавра s = 7,0 мм = 0,7 см (рис. 11.4,в).

Проверяем прочность двутавра.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах двутавра

Наибольшие касательные напряжения возникают на половине высоты двутавра

В соответствии с требованием СНиП II-23-81* должно выполняться условие (11.17); τxy = τmax = 2,482 кН/см2 < 0,58·Ry = 0,58·24 = 13,92 кН/см2, условие (11.17) выполняется.

Напряжения в сечении 1-1: нормальные напряжения в сечении 1-1, проведенному по нижнему краю полки двутавра: σ1-1 = (σmax/ 0,5h)(0,5h – t) = (22,4/19,6)·18,65 = 21,31 кН/см2; касательные напряжения в сечении 1-1 двутавра:

где S1-1 статический момент полки относительно оси х - х:

S1-1 = Аf (h/2 – t/2) = 16,5·0,95(19,6 – 0,475) = 299,8 см3.

 

Анализируя эпюры напряжений (рис. 10.4,в) можно сделать вывод, что в сечении 1-1 нормальные и касательные напряжения достигают больших значений и это сечение необходимо проверять по формуле (10.15), учитывая, что σy = 0

условие 11.15 выполняется, прочность обеспечена.

Пример. 11.2. Проверить прочность сечения консольной балки выполненной из широкополочного прокатного двутавра I№ 35Ш2, сталь С345. Расчетное сопротивление стали Rу = 315 МПа = 31,5 кН/см2. Коэффициент условия работы γс = 1,0. На балку действуют распределенная нагрузка интенсивностью q = 35 кН/м и сосредоточенная сила F = 80 кН (рис. 11.5,а). Вылет консоли l = 3,2 м.

Решение. Определяем реакции, возникающие в защемлении

∑Y = 0; VА – ql – F1 = 0; VА = 35·3,2 + 80 = 192 кН,

MА = ql2/2 + F l = 35·3,22/2 + 80·3,2 = 435,2 кН·м.

Наибольшее значение момента равно моменту в заделке; MА = Мmax = 435,2 кН·м = 43520 кН·см. Строим эпюры «Q», «M» (рис. 11.5,б).

По сортаменту проката устанавливаем характеристики двутавра № 35Ш2: момент инерции Ix = 22070 см4, момент сопротивления Wx = 1295 см3, статический момент полусечения Sx = 721 см3, высота двутавра h = 341 мм, ширина b = 250 мм, толщина полки t = 14 мм = 1,14 см, толщина стенки двутавра s = 10,0 мм = 1,0 см.

Проверяем прочность двутавра. Наибольшие нормальные напряжения возникают в заделке консоли (точке А), где действует наибольший изгибающий момент

условие не выполняется, требуется увеличить сечение двутавра.

Принимаем следующий по сортаменту двутавр, I№ 35Ш3, который имеет характеристики: момент инерции Ix = 25140 см4; момент сопротивления Wx = 1458 см3; статический момент полусечения Sx = 813 см3; размеры сечения: высота двутавра h = 345 мм, ширина b = 250 мм, толщина полки t = 16 мм = 1,6 см, толщина стенки двутавра s = 10,5 мм = 1,05 см (рис. 11.5,в).