Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 14 )

Решение. Моменты инерции относительно осей х, у: (см. пример 8.1). Определяем моменты сопротивления относительно осей х, у:

Пример 10.8. Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях балки взятой из примера 10.6, для которой уже определены изгибающие моменты, возникающие по длине балки. Балка прямоугольного сечения шириной b = 200 мм, высотой h = 600 мм (рис. 10.14).

Решение. Анализируя значения изгибающих моментов на эпюре «М» видим, что изгибающие моменты меняют значения на различных участках балки. Для расчета прочности балки, имеющей постоянное поперечное сечение, достаточно определить напряжения в самом опасном сечении 1-1, которое проводится на участке с наибольшими абсолютными значениями изгибающих моментов Мmax = 120 кН·м = 12000 кН·см.

1. Определяем значение момента инерции поперечного сечения балки относительно оси изгиба балки – оси х-х:

2. Принимая во внимание, что уmax = h/2 = 30 см по формуле (10.9) определяем

Задача 10.1. Определите нормальные напряжения в поперечных сечениях балки, имеющей эпюру моментов (рис. 10.15), взятую из примера 10.4. Сечение балки двутавр №30Ш3. Рассмотрите два варианта изгиба: относительно оси х и относительно оси у. Характер распределения нормальных напряжений в двутавре относительно оси х см. рис. 10.16. Сравните значения наибольших напряжений при различных вариантах изгиба.

Касательные напряжения в поперечном сечении балки

Касательные напряжения оказывают меньшее значение на прочность изгибаемого элемента, чем нормальные напряжения, но при одновременном действии изгибающих моментов и поперечных сил в одном сечении их действие следует учитывать (см. параграф 11.3).

Примем без доказательств формулу, выведенную для нахождения касательных напряжений

(10.14)

где Sx – статический момент отсеченной площади относительно нейтральной линии балки.

Для нахождения статического момента, проводится сечение в месте, где необходимо определить касательные напряжения, и оно отсекает часть поперечного сечения балки, для которого определяется статический момент отсеченной части; Ix – момент инерции сечения относительно оси изгиба; b – ширина сечения балки.

 

Касательные напряжения достигают наибольших значений в середине балки, а в сечении 1-1 двутавра, где изменяется поперечный размер балки b = s (рис. 10.15,г), возникает скачек касательных напряжений.

Пример 10.9. Определить значение наибольших касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях деревянной клееной двутавровой балки. Балка изгибается относительно оси х. Эпюра поперечных сил взята из примера 10.6. Размеры балки, ширина и высота полок: bп = 250 мм, hп = 96 мм, толщина стенки tст = 100 мм, высота балки h = 700 мм, высота стенки hст = h – 2hп = 700 – 2· 96 = 508 мм (рис. 10.17).

Решение. Наибольшие касательные напряжения возникают в середине сечения по высоте балки (на оси х). Определяем статический момент половины сечения относительно оси х. Он равен сумме произведений площадей, соответственно полки и половины сечения стенки, на расстояния от их центров тяжести до общего центра тяжести всей балки

Определяем момент инерции сечения относительно оси х по формуле (8.4), здесь Ix1 – момент инерции полки, Ix2 – момент инерции стенки (см. табл. 8.1); А1 – площадь сечения полки, А2 – площадь сечения стенки; z1 = у1= 30,2 см, z2 = 0 – расстояния от центров тяжестей полок до оси х и расстояние от центра тяжести стенки до оси х. Учитывая, что имеем две полки, получаем

Анализируя эпюру поперечных сил «Q» видим, что наибольших абсолютных значений эпюра достигает в правой части Qmax = 105,75 кН. Определяем наибольшее значение касательных напряжений по формуле (10.14), учитывая, что ширина сечения в середине балки равна b = tст = 10 см

Характер распределения касательных напряжений в двутавромом сечении относительно оси х см. рис. 10.16.

Задача 10.2. Определить значение наибольших касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях прокатного двутавра №30Ш3. Эпюра поперечных сил (рис.10.18), взята из примера 10.4. Изгиб происходит относительно оси х.

 

Понятия о линейных и угловых перемещениях при изгибе

Как было показано в параграфе 10.3 (рис. 10.12), поперечные сечения балки при ее изгибе перемещаются по вертикали и поворачиваются вокруг нейтральной оси. В результате линейных перемещений и поворотов поперечных сечений продольная ось балки изгибается. Точка 1 перемещается в положение 1'. Линейные перемещения называют прогибами, угловые перемещения – углами поворота поперечных сечений.

Чрезмерный прогиб и повороты поперечных сечений в торцах балки могут нарушать нормальную эксплуатацию вышерасположенных элементов здания, или нарушать целостность опорных узлов конструкции балки.

Наибольший прогиб балки называют стрелой прогиба ymax = f (рис. 10.19). Стрела прогиба ограничивается требованиями строительных норм. В соответствии с конструктивными требованиями, предельное значение стрелы прогиба - fu принимают в зависимости от длины пролета балки, для большинства балок fu = l/150. Неблагоприятное впечатление, возникающее от внешнего вида изогнутой балки, когда она открыта для обзора, ограничивается эстетико-психологическими требованиями, которые устанавливают значения предельных прогибов: fu = l/200, для l = 6 м; fu = l/250, для l = 24 м

Прогибы считаются положительными, когда они направлены вверх и совпадают с направлением оси у, и отрицательными, если направлены вниз. Углы поворота принято считать положительными при повороте сечений против часовой стрелки и отрицательными при повороте по часовой стрелке. Часто при расчетах, прогибы и углы поворота берут по их абсолютным значениям без учета знаков.

 

Величину прогибов и углы поворота поперечных сечений можно определить в результате интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки (в настоящем курсе детальный расчет не приводится). Их значения зависят от схемы загружения балок силами, длин пролетов, и жесткости балок. Жесткостью балок называют – произведение модуля упругости материала балки на момент инерции относительно оси изгиба ЕI. Значения модулей упругости Е для различных материалов см. таблицу 6.1.

В практических расчетах чаще всего необходимо устанавливать наибольшие значения прогибов и углов поворота балки, их можно определять по формулам, приведенным в справочных таблицах (см. табл. 10.1).

Значения прогибов в любых произвольно взятых сечениях балки и при любых нагрузках можно определять с использованием правила Верещагина, метод расчета см. далее в параграфе 10.6. Существуют и другие способы определения прогибов, которые здесь не приводятся.

Пример 10.7. Определить наибольший прогиб и наибольший угол поворота поперечных сечений для балки, выполненной из стального прокатного двутавра № 26Б1. На балку действует сосредоточенная сила и равномерно распределенная нагрузка (рис. 10.20). Балка открыта для обзора, и прогиб ограничен отношением fu = l/200.

 

Таблица 10.1. Значения прогибов и углов поворота некоторых однопролетных балок

№ п/п	Схема загружения балки	Прогиб	Углы поворота
ymax = f	θА	θВ
1
2
3	А
4				0
5			0
6			0
7			0	– М·l

Решение. Определяем по сортаменту прокатных двутавров значение момента инерции относительно оси изгиба Ix = 4024 см4. Модуль упругости, установленный нормами проектирования для всех видов сталей Е = 2,06·105 МПа = 2,06·104 кН/см2. Применяем принцип независимости действия сил (см. параграф 5.2), в соответствии с которым, можно по отдельности определять наибольшие прогибы, от сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки, а затем, сложив их найти общий наибольший прогиб.