Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 19 )

Проверяем прочность двутавра

условие выполняется.

Наибольшие касательные напряжения вызывает наибольшая поперечная сила, и они достигают наибольших значений на половине высоты сечения двутавра (рис. 11.5,б,в)

В соответствии с требованием СНиП II-23-81* должно выполняться условие (11.17) 5,91 кН/см2 < 0,58·Ry = 0,58·31,5 = 18,27 кН/см2, условие (11.17) выполняется.

Нормальные напряжения в сечении 1-1, которое проведено по нижнему краю полки двутавра σ1-1 = (σmax/ 0,5h)(0,5h – t) = (31,15/17,25)·15,65 = 28,26 кН/см2.

Касательные напряжения в сечении 1-1

где S1-1 статический момент полки относительно центра тяжести сечения двутавра (оси х): S1-1 = Аf (h/2 – t/2) = 25·1,6 (17,25 – 0,8) = 658 см3.

Сечение 1-1 проверяем по формуле (10.16), учитывая, что σy = 0

условие (11.16) выполняется, прочность обеспечена.

Косой изгиб

12.1. Общие положения. Плоский косой изгиб

При косом изгибе плоскость действия сил и соответственно изгибающих моментов не совпадает ни с одной из главных плоскостей сечения элемента. При таких воздействиях элемент испытывает сложные деформации. Косой изгиб называют плоским, когда все вызывающие его силы лежат в одной плоскости (рис. 12.1).

Кроме плоского косого изгиба возможен пространственный косой изгиб, тогда силы вызывающие изгиб лежат в разных плоскостях. Здесь этот случай не рассматривается.

При поперечном косом изгибе в сечениях элемента возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы и изгибающие моменты действующие относительно осей x, y, соответственно Qx, Qy и Мx, Мy. При расчете на прочность влиянием поперечных сил обычно пренебрегают, ввиду их незначительного влияния.

Рассмотрим консоль, загруженную силой F (рис. 12.1,а). Линия действия силы не совпадает ни с одной из главных осей.

Раскладываем силу на составляющие, направленные вдоль главных осей сечения

Fy = F cos α; Fx = F sin α;

Составляющая Fy изгибает консоль в вертикальной плоскости относительно оси x. В произвольно взятом сечении по длине консоли, на расстоянии z от точки приложения силы возникает изгибающий момент

Мx = Fy z = F z cos α = М cos α;

соответственно, от действия составляющей Fx возникает изгибающий момент

Мy = Fx z = F z sin α = М sin α,

где М представляет собой результирующий изгибающий момент равный М = F z.

Из сказанного следует, что косой изгиб можно свести к двум прямым изгибам, действующим во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Для определения нормальных напряжений используют формулу (10.9), соответствующую напряжениям от изгибающего момента при прямом изгибе и учитывают, что изгиб происходит относительно разных осей

Используя эти формулы можно определить напряжения в любой, произвольно взятой точке сечения см. рис. 11.1 (точка 1 и напряжения в этой точке). Знак плюс соответствует растягивающим, а знак минус сжимающим напряжениям.

Наибольшие абсолютные значения напряжений получаем в крайних волокнах сечения балки

где Wx, Wy моменты сопротивления относительно главных осей Wx = Ix / 0,5h; Wy = Iy / 0,5b.

 

Суммарные напряжения (рис. 12.1,д) определяют по формуле

(12.1)

Чтобы построить эпюру суммарных напряжений предварительно нужно определить положение нейтральной линии. Так как нейтральная линия является геометрическим местом точек, в которых отсутствуют напряжения, можно записать

так как результирующий момент М не равен нулю, можно записать

Отсюда получили уравнение прямой, проходящей через начало координат при xо = 0, yо = 0. В нашем случае начало координат совпадает с центром тяжести сечения (точка О). Уравнение нейтральной линии удовлетворяется только при различных знаках координат x, y. Продолжая анализировать положение нейтральной линии рассмотрим рисунок 12.1,д, из него видно, что если рассмотреть точку 2, лежащую на нейтральной линии, отношение – y2/x2 = tg β, следовательно tg β = tg α (Ix / Iy), т. е угол β ≠ α, нейтральная ось не перпендикулярна силовой линии. Перпендикулярность сохраняется только при Ix = Iy, что возможно при квадратном или круглом сечениях.

Так можно установить положение нейтральной линии, а затем перпендикулярно к ней провести базисную линию напряжений, и откладывая напряжения в точках построить эпюру суммарных напряжений.

Наибольшие абсолютные значения напряжений возникают в угловых точках в которых совпадают знаки эпюр σМx и σМy (рис. 12.1,в,г), в приведенном примере это точки D и B.

Условие прочности имеет вид

(12.2)

где Мx и Мy изгибающие моменты относительно главных осей сечения; Wx и Wy моменты сопротивления сечения относительно его главных осей; Ry расчетное сопротивление стали взятое по пределу текучести (обозначение расчетного сопротивления может меняться при использовании других материалов, например для древесины вместо Ry подставляют расчетное сопротивление изгибу Rи); γс коэффициент условия работы элемента или конструкции.

Расчет прямоугольного сечения упрощается, если заранее задаться отношением моментов сопротивления k = Wx/Wy, которое принимается равным: от 8,5 до 10 для двутавров, 6….8 для швеллеров, а для прямоугольных сечений коэффициент k равен отношению высоты сечения к ширине. Подставив отношение k в уравнение (12.2), получаем

(12.3)

Кроме прочности необходимо проверять прогибы элемента. Для этого пользуются формулами прогибов в зависимости от схем загружения (см. табл. 10.1), учитывая при этом, что изгиб происходит одновременно в двух плоскостях. Определяют прогиб относительно оси x, а затем относительно оси y, соответственно обозначая прогибы fx, fy. Значение полного прогиба определяют по формуле

(12.4)

Полный прогиб при косом изгибе ограничивается, как и при прямом изгибе, предельным прогибом f ≤ fu. Предельный конструктивный прогиб обычно определяется в долях от пролета балки fu = l / 150.

Пример. 12.1. Подобрать сечение деревянных прогонов закрепленных на скатах ферм, расположенных под углом α = 30° (рис. 12.2). Шаг ферм (длина прогонов) l = 4 м. Прогоны выполнены из древесины сосны, сорт 1й. Расчетное сопротивление древесины изгибу Rи = 16 МПа = 1,6 кН/см2, коэффициент условия работы γс = 1,0. Модуль упругости древесины вдоль волокон Е = 10000 МПа = 1000 кН/см2. Нагрузка действующая на 1 м2 горизонтальной проекции покрытия, состоит из веса конструкций покрытия и снеговой нагрузки и равна q(м2) = 2,3 кПа. На рассчитываемый прогон нагрузка собирается с площади шириной d = 3 м (рис. 12.2,а). Соответственно, нагрузка приходящаяся на один погонный метр длины прогона q = q(м2)· d = 2,3·3 = 6,9 кН/м (рис. 12.2,б).

Решение. Определяем составляющие нагрузки перпендикулярные главным осям сечения прогона (рис. 12.2,в), qy = q cos α = 6,9·0,866 = 5,98 кН/м; qx = q sin α = 6,9·0,5 = 3,45 кН/м. Составляющая нагрузки qy изгибает прогон относительно оси x, а составляющая нагрузки qx относительно оси y. Наибольшие изгибающие моменты относительно осей y, x получаем в середине прогона: Mx = qy l2/ 8 = 5,98·42/ 8 = 11,96 кН·м = 1196 кН·см; My = qx l2/ 8 = 3,45·42/ 8 = 6,9 кН·м = 699 кН·см.

 

Задаемся отношением моментов сопротивления k = Wx / Wy = 1,3. Условие прочности (12.3): откуда можно найти требуемый момент сопротивления Wx = (Mx + kМy) / Ryγс = (1196 + 1,3·699) / 1,6·1,0 = 1315,4 см3. Учитывая, что для прямоугольного сечения Wx = bh2/ 6, задавшись шириной прогона можно определить его высоту. Принимаем b = 15 см, тогда принимаем размеры прогонов с учетом сортамента пиломатериалов b = 15 см, h = 25 см.