Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 23 )

Fin = (G/g) a. (14.2)

В соответствии с принципом Д' Аламбера в каждый временной момент двигающееся тело, можно рассматривать как будто оно находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к телу проложить силы инерции. Применяя метод сечений, определяем возникающую в тросе динамическую силу. Динамическая сила Ndin всегда действует по направлению ускорения. В качестве внешних сил к грузу прикладываем вес и силу инерции. Составляем уравнение равновесия

∑Y = 0; Ndin – G – Fin = 0; подставляя формулу (14.2) получаем

Ndin = G + (G/g) a = G(1 + a/g), выражение в скобках показывает во сколько раз динамическая сила больше ее статической составляющей Nst (если бы этот груз висел на тросе не двигаясь). Принимая (1 + a/g) = kdin, получаем

Ndin = kdin Nst, (14.3)

где kdin – динамический коэффициент.

В связи с этим следует отметить, что недопустимы при подъеме грузов рывки, т. к. при этом возникает значительное ускорение и возможен разрыв троса.

 

Пример. 14.1. Определить динамическую нагрузку на трос лебедки поднимающей груз весом G = 30 кН с ускорением a = 4 м/сек (рис. 14.1).

Решение. Определяем динамический коэффициент kdin = (1 + a/g) = (1 + 4/9,81) = 1,408. Статическая составляющая силы Nst равна весу поднимаемого груза (без учета веса троса) Nst = G = 30 кН (рис.14.1,а). Динамическая сила в соответствии с формулой (14.3) Ndin = kdin Nst = 1,408·30 = 42,24 кН.

Задача 14.1. Определить усилие, возникающее в тросе при подъеме груза массой m = 1200 кг, с ускорением а = 3 м/сек.

Задача 14.2. Трос способен выдержать усилие N= 20000 кН. Определите, какое ускорение можно придать грузу весом G = 400 кН до разрушения троса?

Ударные нагрузки

Ударные нагрузки возникают при падении грузов, при работе сваебойного оборудования во время забивки свай, ударов молотком при забивании гвоздей, когда нагрузка без удара, но быстро передается на конструкцию, например, груз уже поднесен монтажным краном к подмостям, но в результате резкого ослабления строп возникает почти мгновенное их нагружение.

Для расчета ударных нагрузок затруднительно использование принципа Д' Аламбера т. к. не возможно с уверенностью определить возникающее при ударе ускорение.

Определение прогибов при падении груза на балку

Приведенный ниже способ расчета воздействия ударной нагрузки на балку позволяет приближенно определить возникающие в балке прогибы и напряжения. Расчет является приближенным, так как для его выполнения вводится ряд допущений.

·  При ударе, в балке возникают только упругие деформации, описываемые законом Гука.

·  Ударяющий балку груз не отскакивает и, оставаясь в соприкосновении, продолжает перемещаться совместно с балкой при ее прогибе.

·  Масса балки не учитывается.

Возникающие при соударении тел потери энергии на нагревание и их местное сжатие не учитываются, тем самым считается, что кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную. Применяя принцип сохранения энергии можно записать

K = U, (14.4)

где K – кинетическая энергия; U – потенциальная энергия.

Рассмотрим падение тела на балку (рис. 14.2). Кинетическая энергия определится как работа, совершаемая телом при падении с высоты, которая равна произведению веса тела G на высоту его перемещения

K = А = G(h + fdin), (14.5)

где А – работа совершаемая грузом весом G при его падении с высоты h, и при этом учитывается, что груз при ударе дополнительно перемещается на величину динамического прогиба балки fdin.

Потенциальную энергию можно определить по формуле

U = Ff / 2, (14.6)

где F – эквивалентная сила, которая при статическом ее приложении в место падения тела на балку, вызывает такой же прогиб, как при ударе, т. е. f = fdin.

 

При падении груза в середину пролета балки ее статический прогиб fst можно определить, используя формулы приведенные в схеме 1 табл. 10.1, считая эквивалентную силу равной весу груза, F = G.

Определяем абсолютное значение прогиба балки при статическом воздействии

, откуда подставив значение силы в (14.6) получаем значение потенциальной энергии: Подставляем значения кинетической (14.5) и потенциальной энергии в уравнение (14.4), получаем:

отсюда

Разделив полученное уравнение на 48ЕIх, получаем: учитывая, что , находим значение динамического прогиба .

Так как отрицательное значение корня не имеет смысла, сохраняем знак плюс и получаем

, (14.7)

принимаем

, (14.8)

kdin – динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз прогиб при ударной нагрузке от падения груза больше прогиба возникающего при статическом приложении груза. Окончательно получаем

(14.9)

Из формулы (14.7) следует, что возможно два варианта расчета.

Первый вариант – когда груз находится на расстоянии h = 0, то есть произошла быстрая, внезапная передача нагрузки, например, в результате резкого ослабления строп держащих груз. Решая уравнение (14.7) получаем . Второй вариант, когда груз падает с высоты отличной от нуля, и динамический прогиб больше статического прогиба на величину динамического коэффициента определяемого по формуле (14.8).

Считая, что при ударе возникают только упругие деформации можно сделать вывод, что и напряжения, возникающие в сечениях балки при динамических воздействиях, будут отличаться от напряжений при статических воздействиях нагрузок на величину динамического коэффициента

σdin = kdinσst (14.10)

Конечно, подобное предположение правильно только при относительно небольших динамических прогибах. В случае если от удара возникает большой прогиб, балка может изогнуться и не восстановить свою первоначальную форму, т. е. в ней возникнут пластические деформации, либо балка просто сломается.

Следует так же иметь в виду, что рассмотренная методика расчета не учитывает массы самой балки, на которую падает груз, что завышает значение динамического коэффициента примерно на 25%.

Пример 14.1. Определить прогиб настила, на который резко опустили поддон кирпичей весом G = 7,2 кН. Толщина настила t = 40 мм, шириной b = 1,0 м модуль упругости древесины Е = 10000 МПа = 1000 кН/см2.

Решение. Определяем момент инерции настила Iх = bh3/12 = 100·43/12 = 533,3 см4. Находим прогиб от статической нагрузки, где F = G:

.

Динамический прогиб при высоте падения груза h = 0: fdin = 2fst = 2·2,25 = 4,5 см.

Пример 14.2. Определить прогиб балки и наибольшие напряжения в ее поперечном сечении. Балка пролетом l = 400 см шарнирно закреплена на опорах, на ее середину падает груз весом G = 5,0 кН с высоты h = 0,25 м. Балка выполнена из прокатного двутавра I№ 23Б1, сталь С245.

Решение. По табл. 6.2 определяем расчетное сопротивление стали Rу = 240 МПа = 24 кН/см2. Определяем по сортаменту прокатных двутавров: момент инерции Iх = 2996 см4, момент сопротивления Wх = 260,5 см3 двутавра. Модуль упругости всех видов сталей Е = 2,06·105 МПа = 2,06·104 кН/см2.

Определяем значение прогиба при статическом приложении нагрузки (табл. 10.1), учитывая, что F = G, абсолютное значение прогиба

Динамическое значение прогиба находим по (14.9) предварительно определив динамический коэффициент по (14.8):

Определяем наибольшие нормальные напряжения в балке по формуле (14.8), учитывая, что наибольшее статическое напряжение определяется по формуле (10.10). Изгибающий момент от статического приложения нагрузки в середине балки М = G/2·l/2 = 5/2·400/2 = 500 кН·см,