Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 17 )

 

Для определения реакции VВ составляем уравнения прогиба в точке В (табл. 10.1, схемы 1, 2), приравнивая прогиб нулю, так как в реальной балке опора В не дает прогибаться в этой точке. Распределенная нагрузка действует вниз – прогиб со знаком минус, сила действует вверх – прогиб со знаком плюс:

учитывая, что L = 2l, получаем

Реакции VА и VC определяем из уравнений статики:

∑ МС = 0;

Определяем реакцию VС из уравнения

∑Y = 0; VA – qL + VВ + VС = 0;

Откладывая реакции, строим эпюру поперечных сил.

Для построения эпюры изгибающих моментов определяем их значения в характерных точках по длине балки. Изгибающие моменты в точках 1, 2, где эпюра Q переходит от плюса к минусу, расположенных на расстоянии х от опор А и С: определяем расстояние х по эпюре Q из соотношения треугольников VА/х = 105/l , откуда 39,375/х = 105/3; х = 1,125 м; определяем изгибающий момент на расстоянии 1,125 м от опор А, С: М1 = М2 = VAх – qх·х/2 = 39,375·1,125 – 35·1,125·1,125/2 = 22,15 кН·м. Изгибающие моменты на опоре В: МВ = VAl – ql·l/2 = 39,375·3 – 35·3·3/2 = – 39,375 кН·м.

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.28,в).

Задача 10.6. Определить реакции и построить эпюры внутренних усилий для балки изображенной на рис. 10.29.

 

Задача 10.6. Определить реакции и построить эпюры внутренних усилий для балки изображенной на рис. 10.30.

Напряженно-деформированное состояние в точке тела

Понятия о простом и сложном напряженно деформированном состоянии

От внешних нагрузок в сечениях элемента (бруса) всегда появляются напряжения, они вызывают деформации материала, и наоборот, деформации элемента вызывают появление напряжений. Поэтому говорят, что в сечении элемента, при нагружении, возникает напряженно-деформированное состояние (Н. Д.С). С. разделяют на простые и сложные. Напряженно-деформированные состояния относят к простым, когда элемент подвергается центральному растяжению, сжатию, кручению.

Напряженно-деформированное состояние значительно усложняется, если к элементу приложить одновременно несколько нагрузок действующих в разных плоскостях.

Напряженное состояние в точке тела

Исследование напряженного состояния в сечениях загруженного бруса состоит в определении возникающих напряжений. Напряжения, возникающие в произвольно взятой точке сечения, зависят от направления плоскостей, проведенных через эту точку.

Для исследования возникающих в точке напряжений выделим вокруг нее бесконечно малый параллелепипед, к граням которого приложим внутренние усилия, которые будут замещать действие отброшенных частей тела (рис. 11.1). Полные напряжения на гранях параллелепипеда можно представить в виде их нормальных и касательных составляющих.

Принято обозначать нормальные составляющие напряжений буквой σ, указывая индексом ось, в направлении которой они действуют (σx, σy, σz). Касательные составляющие напряжений, обозначают τ, индексами обозначают ось, в направлении которой они направлены и ось на которой находится точка их приложения (τxy, τxz, τyх, τyz, τzx, τzy).

При повороте выделенного параллелепипеда всегда можно найти такое его положение, при котором касательные напряжения будут равны нулю, при этом нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений и они называются главными напряжениями, а площадки, на которых они действуют, называют главными площадками.

В общем случае через любую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные площадки и получить три значения главных напряжений (σ1, σ2, σ3). Если только одно из главных напряжений не равно нулю, а остальные отсутствуют, то такое напряженное состояние называют линейным (рис. 11.2,а), оно возникает при центральном растяжении или сжатии. Наибольшее главное напряжение (по алгебраической величине) принято обозначать σ1, а наименьшее σ3.

 

В случае, если нагрузка на элемент действует в двух или в трех направлениях, соответственно возникает плоское или объемное напряженное состояние (рис. 11.2,б,в).

 

Плоские напряженные состояния возникают, например, в плитах опирающихся по своему контуру. Объемное напряженное состояние возникает внутри массивных конструкций.

Как было показано на рис. 11.1, в общем случае, вместе с нормальными напряжениями возникают касательные напряжения. При плоском напряженном состоянии нормальные и касательные напряжения действуют в одной плоскости (рис. 11.3,а). Нормальные напряжения на параллельных гранях параллелепипеда всегда направлены в противоположные стороны, так как уравновешивают друг друга. Касательные напряжения, действующие на взаимно перпендикулярных гранях, численно равны и сходятся к общему ребру.

 

Рассмотрим плоское напряженное состояние (рис. 11.3,б). При повороте параллелепипеда на некоторый угол α, касательные напряжения уменьшаются до нуля, и на его гранях будут действовать только главные напряжения σ1 и σ2.

Прочность конструкций и элементов

Прочность конструкций и отдельных их элементов определяют расчетным путем, учитывая возникающие в них напряженно-деформированные состояния. В качестве основных факторов влияющих на прочность можно принять:

- наибольшие нормальные напряжения;

- наибольшие удлинения;

- наибольшие касательные напряжения;

- наибольшие сдвиги;

- совокупность различных факторов.

Предположения о причинах достижения материалом предельных напряженных состояний называют теориями прочности. Теоретические предположения проверяют экспериментальным путем, оценивая совпадение теоретических и экспериментальных результатов.

В случае простейших напряженных состояний (при осевом растяжении или сжатии) достаточно просто экспериментально определить возникающие опасные напряжения, по ним установить расчетные сопротивления, которые будут ограничивать напряжения в материале полученные расчетным путем, и тем самым предотвращать возникновение предельных состояний.

Первая теория прочности. Первая теория исходит из предположения, что условие прочности будет обеспечено при ограничении наибольших нормальных напряжений. При линейном напряженном состоянии условие прочности будет иметь вид

– при растяжении σ1 ≤ Rt;

– при сжатии σ1 ≤ Rc, (11.1)

где Rt расчетное сопротивление материала растяжению, Rс расчетное сопротивление материала сжатию, σ1 наибольшее (наименьшее) главное напряжение.

В случае плоского напряженного состояния получаем уравнение

(11.2)

В случае сложных напряженных состояний, когда одновременно действуют три главных напряжения, первая теория прочности неприменима. Например, теория не учитывает, что при всестороннем равномерном сжатии разрушение тела не происходит. Кроме того, хрупкое разруше­ние тела при одноосном сжатии происходит путем образо­вания продольных трещин по плоскостям, в ко­торых не действуют никакие нормальные напряжения.

Вторая теория прочности. Теория исходит из того, что прочность будет обеспечена, если наибольшее относительное удлинение не превосходит некоторого предельного значения

εmax ≤ εпред. (11.3)

Если условие выразить через напряжения получим

σ1 – μ(σ2 + σ3) ≤ Rt, (11.4)

где μ = G/E; G и E соответственно модули поперечной и продольной деформаций материала.

При плоском напряженном состоянии получаем

(11.5)

Вторая теория прочности не получила распространения, так как не обеспечивает необходимой точности расчетов. Она применима для хрупких материалов: бетона, камня. Полученные результаты расчетов не согласуют­ся с результатами опытов по сжатию образцов в двух на­правлениях. Согласно теории при таком сжатии прочность должна повышаться, но этого не происходит.