Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 4 )

усилие N4 направлено к сечению 4-4 – участок сжат.

Реакция в месте крепления стержня определяется из уравнения:

∑ Z = 0; R + F1 + F2 – F3 – F4 = 0; R = – F1 – F2 + F3 + F4 = – 40 – 15 + 68 + 25 = 38 кН, соответственно, R = N4. Строим эпюру продольных сил, откладывая полученные значения от оси, вверх значения со знаком плюс, вниз – со знаком минус (рис. 6.2,в).

Если сразу установить значение реакции R, можно определять значения продольных усилий, отбрасывая левые части стержня. Для построения эпюры, можно не прорисовывать каждое сечение, как это сделано на рис. 6.2,в, а выполнять это мысленно.

Пример 6.2. На колонну по ее продольной оси действует сила F = 800 кН (рис. 6.3). Определить внутренние продольные силы, возникающие в колонне и построить эпюру продольных сил.

Решение. Колонна сжата силой F по всей длине. Разделяем ее сечением 1-1 на две части. В верхней части силе противодействует внутреннее усилие N направленное вверх, навстречу силе. В нижней части внутреннее усилие N направленно вниз, навстречу опорной реакции VБ. Составим уравнение равновесия для верхней и для нижней частей колонны:

а) для верхней части ∑ Y = 0; – F + N = 0; откуда F = N = 800 кН;

б) для нижней части ∑ Y = 0; – N + VБ = 0; откуда N = VБ = 800 кН.

 

Из результатов расчета видно, что безразлично, какую часть конструкции рассматривать. Значения внутренних сил N одинаковы для верхней и нижней частей. Усилие N в сечении, для верхней и нижней части, направлено в противоположные стороны. Строим эпюру продольных сил, откладывая от оси значения N = 800 кН. Элемент сжат, следовательно, знак эпюры «минус».

Задача 6.1. Определите значение силы F3 и постройте эпюры продольных сил для двух вариантов загружения бруса (рис. 6.4). Силы действуют по оси сечения, и брус находится в равновесии. Значение сил: F1 = 30 кН, F2 = 58 кН.

 

Задача 6.2. По данным эпюры продольных сил (рис. 6.5) постройте загружение бруса силами.

 

Напряжения и деформации при центральном (осевом)

растяжении и сжатии

Напряжения при растяжении и сжатии

Продольные силы N, действующие по оси бруса, в зависимости от своего направления вызывают в его поперечных сечениях растягивающие или сжимающие нормальные напряжения σ. Конструкции или отдельные элементы на которые по их оси действуют растягивающие или сжимающие силы называются, соответственно, центрально-растянутыми или центрально сжатыми. Продольные внутренние силы в них можно записать в виде

, (6.1)

где dA – элементарная площадка, на которой действует нормальное напряжение σ.

Для того чтобы представить деформирование состояние бруса Я. Бернулли была предложена упрощающая гипотеза о плоских сечениях, в последствие дополненная Сен-Венаном: В однородном материале, поперечные сечения при небольшом удалении от места приложения внешней силы F, которые были плоскими и перпендикулярными к продольной оси бруса до деформации, остаются такими же и после деформации (рис. 6.6,а,б).

 

В соответствие с этой гипотезой можно сделать вывод, что напряжения распределяются равномерно по всему поперечному сечению бруса. Получаем формулу для определения нормальных напряжений

(6.2)

где N – продольное усилие в поперечном сечении элемента, A – площадь поперечного сечения.

В формулу (6.2) усилие подставляют со знаком «плюс» при растяжении и со знаком «минус» при сжатии.

Однако опыты показывают, что сечения бруса вблизи точки приложения силы искривляются, и, соответственно, изменяются напряжения. В точке приложения силы возникает, так называемая, концентрация напряжений (рис. 6.6,в).

Концентрация напряжений также возникает вблизи отверстий и подрезок (рис. 6.7), и приводит к тому, что напряжения увеличиваются вблизи начала отверстий или подрезок, по сравнению со средней величиной σm. Кроме того, отверстия уменьшают площадь поперечного сечения элемента. Концентрация напряжений может приводить к разрушению.

 

На этом явлении подробнее останавливаться не будем, но отметим, что отверстия (вырезы) должны выполняться без острых углов с плавными обводами, так как это способствует уменьшению концентрации напряжений.

Разрушение центрально растянутых элементов при наличии ослаблений происходит по сечению с наименьшей площадью – по площади сечения нетто, и тогда величину напряжений определяют по формуле

 

(6.3)

где Аn площадь сечения нетто. В отличие от площади сечения нетто, площадь сечения не имеющая ослаблений называется площадью сечения брутто – А.

Деформации при упругом растяжении и сжатии

При растяжении стержня его размеры деформируются (рис. 6.8). Длина стержня до деформации l, после деформации стала l1, ширина стержня b, после деформации стала b1. Можно установить абсолютную деформацию, которая представляет собой изменение размеров стержня: продольная абсолютная деформация при растяжении Δl = l1 – l; поперечная: Δh = h – h1; Δb = b – b1. Абсолютные деформации измеряются в линейных единицах: сантиметрах, миллиметрах. При сжатии, значения абсолютных деформаций определяют аналогично, но они принимаются с другим знаком (рис. 6.8,б).

Удобней пользоваться не абсолютными, а относительными деформациями, которые представляет собой отношение абсолютных деформаций к первоначальной длине стержня

(6.4)

Относительные деформации (ε) не зависят от длины стержня и являются безразмерными величинами, тем самым, можно исследовать работу элементов имеющих разные длины. Часто относительные деформации измеряют в процентах.

 

Между напряжениями и деформациями при упругой работе материалов существует линейная зависимость

(6.5)

где Е модуль продольной упругости. Так как относительная деформация (ε) величина безразмерная значения модулей упругости имеют размерность напряжений (мегапаскаль, килопаскаль), они зависят от материалов, см. табл. 6.1.

Прямо пропорциональная зависимость (6.5) между нормальными напряжениями и деформациями была исследована Р. Гуком и носит название закон Гука. Из формулы (6.5) можно сделать вывод, что при возникновении напряжений появляются деформации, и наоборот, если конструкция удлинилась либо укоротилась, в ней появились напряжения.

Аналогично можно определить относительную поперечную деформацию

(6.6)

где относительная поперечная деформация, Δb = b – b1; Δh = h – h1 - изменение поперечных размеров элемента. Поперечная деформация однородного материала одинакова во всех направлениях.

Отношение относительных поперечных деформаций к продольным деформациям называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуансона

, (6.7)

где μ – коэффициент поперечной деформации см. табл. 6.1.

Для практических расчетов часто оказывается более удобной формула, получаемая подстановкой в (6.5) формул (6.3) и (6.4): σ = Еε = N/А = Е Δl / l, отсюда получаем

(6.8)

Произведение ЕА называется жесткостью сечения растянутых и сжатых элементов. В то время как закон Гука описывает работу всех упругих материалов, формула (6.8) позволяет определять изменение длины конкретного бруса (конструкции).

Таблица 6.1. Значения модулей упругости и коэффициентов

поперечной деформации

№ п/п	Материал	Е, МПа	μ
1. 2. 3. 4.	Стальной прокат Чугунные отливки Алюминиевые сплавы Древесина: а) вдоль волокон б) поперек волокон	2,06·105 0,83…0,98·105 0,71·105 0,1·105 0,004·105	0,3 0,3 0,3 0,5 0,02

Пример 6.3. Построить эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и относительных деформаций, для ступенчатого стержня (рис. 6.9). На стержень действуют силы: F1 = 380 кН, F2 = 930 кН, F3 = 820 кН. Площади сечений: А1 = 20 см2, А2 = 4см2. Длины частей стержня: нижняя часть l1 = 190 см, верхняя часть l2 = 200 см. Места приложения сил см. рис. 6.9. Материал стержня сталь.