Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 21 )

 

В случае общего случая внецентренного сжатия сила может быть смещена как относительно оси х так и у, вызывая моменты относительно обеих главных осей. Тогда напряжения в произвольной точке сечения элемента определяются по формуле

(12.7)

Радиусы инерции сечения ix, iy элемента находят по формулам

(12.8)

Отсюда выражаем моменты инерции

Ix = Аix2; Iy = Аiy2. (12.9)

В волокнах, которые находятся на нейтральной линии, напряжения равны нулю. Выразив моменты через эксцентриситеты приложения силы (Мх = Ney; Мy = Nex), и подставив значения моментов инерции в формулу (12.7) получаем

выносим отношение N/А за скобки и получаем

учитывая, что отношение N/А ≠ 0 получаем уравнение нейтральной линии в общем случае внецентренного сжатия

(12.10)

Через уравнение нейтральной линии можно определить значения эксцентриситетов ех и еу при прохождении нейтральной линии по краям сечения элемента (1-1; 2-2; 3-3; 4-4, см. рис. 12.7). Такое положение нейтральных линий соответствует граничному положению, при котором все сечение элемента сжато (отсутствуют растягивающие напряжения).

Соответственно, при у = 0: откуда ех = – iy2/х и учитывая, что iy2 = Iу /А = hb3/12bh = b2/12, принимая х = х1 = – b/2 получаем значение ех1 = – (b2/12)/(–b/2) = b/6; при х = х3 = b/2, значение ех3 = – b/6;

при х = 0: откуда еу = – iх2/у и учитывая, что iх2 = Iх /А = bh3/12bh = h2/12 принимая у = у2 = – h/2 получаем значение ех2 = – (h2/12)/(–h/2) = h/6; при у = у4 = h/2, значение еу4 = – h/6. При переходе от одной стороны прямоугольника к другой нейтральная линия поворачивается вокруг угловой точки. В результате выделяется контур ядра сечения в виде ромба с размерами диагоналей равных третям соответствующих сторон (рис. 12.7,а).

Аналогично можно провести определение ядра сечения для элементов, имеющих другие очертания поперечных сечений. Для двутавра ядро сечения имеет форму аналогичную ядру сечения прямоугольного элемента с размерами диагоналей ромба ех = ± iy2/0,5b; еу = ± iх2/0,5h (рис. 12.7,б). Для круглого бруса ядро сечения имеет форму круга проведенного вокруг центра сечения с радиусом 1/8d.

Еще раз отметим, что в том случае, когда сжимающая сила прикладывается в пределах ядра сечения, в поперечном сечении элемента возникают только сжимающие напряжения.

Устойчивость сжатых стержней

Понятие об устойчивости первоначальной формы элементов

Сжатые элементы при нагрузке превышающей их прочность разрушаются, но в относительно длинных элементах до их разрушения они выходят из строя в результате потери устойчивости формы. Потерей устойчивости формы называют отклонение элемента от его первоначального положения (выпучивания), в результате воздействия нагрузок. При потере устойчивости элемент искривляется и становится непригодным для дальнейшей эксплуатации.

 

Рассмотрим потерю устойчивости центрально-сжатой стойки. Будем сжимать стойку силой F приложенной к центру тяжести сечения стойки. При некоторых значениях силы, стойка остается прямолинейной (рис. 13.1,а), а затем, при увеличении силы, происходит продольный изгиб стойки (рис. 13.1,б), возникает так называемое безразличное равновесие, при котором стойка колеблется между прямолинейной и криволинейной формой. Эксплуатация стойки становится невозможной. Сила, вызывающая потерю устойчивости формы, называется критической силой Fcr.

При дальнейшем увеличении нагрузки стойка еще больше искривляется, может возникнуть криволинейная форма равновесия (рис. 13.1,в), но такое равновесие имеет только теоретический интерес.

На величину критической силы оказывает влияние прочность материала (характеризуемая его расчетным сопротивлением), и модуль упругости. Изгиб стержня происходит относительно оси, в отношении которой момент инерции сечения имеет меньшее значение.

Значение критической силы можно определять по формуле Эйлера

(13.1)

где Е – модуль упругости; Imin – минимальный момент инерции сечения; lef – расчетная (эффективная) длина стержня, зависящая от закрепления концов стержня.

На рисунке (13.2,а) показано, что на опоре А стержень жестко защемлен и защемление не дает нижней части изгибаться, а на опоре В стержень шарнирно закреплен и шарнир позволяет свободно поворачиваться стержню. Соответственно, изгибу подвержена не вся длина стержня l, а только часть длины lef . На рисунке (13.2,б) оба конца стержня жестко закреплены и не могут поворачиваться, и еще меньшая часть длины стержня изгибается.

Для некоторых схем закрепления концов стержней, значения коэффициента μ приведены в таблице 13.1.

Расчетная длина определяется по формуле

lef = μl, (13.2)

где μ – коэффициент, см. табл. 13.1.

 

Теоретическое решение устойчивости стержней, полученное Эйлером, применимо для ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, имеющих большую гибкость.

Таблица 13.1. Значение коэффициентов μ при различных способах закрепления стержней

Схемы закрепления концов стержней
Коэффициент μ	Стальные и железобетонные конструкции	μ = 1,0	μ = 0,7	μ = 0,5	μ = 2,0
Деревянные конструкции	μ = 1,0	μ = 0,8	μ = 0,65	μ = 2,2

Между тем в конструкциях часто встречаются стержни, имеющие малую гибкость. Так же при критических напряжениях превышающих предел пропорциональности, фактическое значение критической силы значительно ниже определенных по формуле (13.1). В настоящее время для установления критических напряжений используют результаты экспериментов. 

Контрольные вопросы 

1. Что называется критической силой?

2. Что влияет, критическая сила или способ закрепления концов стержня на его расчетную длину?

3. Как узнать, относительно какой из осей сечения произойдет изгиб стержня?

Практический метод расчета центрально-сжатых стержней на устойчивость

Сжатые элементы бывают центрально сжатыми и внецентренно сжатыми. Далее рассматриваются только центрально сжатые, то есть такие, сжимающие силы на которые, действуют по центрам тяжести их сечений. К центрально сжатым конструкциям относят: некоторые симметрично загруженные колонны, стойки, элементы стропильных ферм и др.

Сжатые элементы рассчитываются на прочность и устойчивость. Расчет прочности см. подраздел (6.3.3).

Центрально сжатые стальные конструкции по прочности рассчитывают по формуле (6.10):

где N – сжимающая сила, действующая на элемент; Аn – площадь сечения элемента нетто; Ry – расчетное сопротивление стали (см. табл. 1 Приложения); γc – коэффициент условия работы, как уже отмечалось, здесь будем принимать его равным единице. При расчете конструкций из других материалов могут использоваться другие обозначения вышеуказанных величин, но принцип расчета прочности такой же.

Проверка прочности сечения элемента необходима только в том случае, если в конструкции имеются ослабления (отверстия, выемки, и т. п.), которые уменьшают сечение, если их нет, проводится только расчет общей устойчивости, так как сила, при которой элемент теряет устойчивость меньше.

Таблица 13.1. Коэффициенты устойчивости, j