Если внешний момент М приложить на опоре В, то значения эпюры моментов будут изменяться до нуля на опоре А, до значений равных внешнему моменту на опоре В, и наоборот, если приложить момент на опоре А – значения эпюры будут меняться от нуля на опоре В. Линии наклона верхней и нижней части эпюры изгибающих моментов параллельны (рис. 10.8,г).
Дифференциальные зависимости между эпюрами «M» и «Q»
Из приведенных выше примеров видно, что эпюры «M» и «Q», являются функциями внешних нагрузок и между ними существует дифференциальная зависимость. А именно, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе
dM/dz = Q. (10.1)
Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком
dQ/dz = – q, (10.2)
или из уравнений (10.1) и (10.2) следует, что вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком
d2M / dz2 = – q. (10.3)
Приведенные зависимости помогают устанавливать правила построения эпюр «M» и «Q».
Правила построения эпюр «Q», «M»
Не приводя здесь детального математического анализа, укажем правила построения эпюр. Так, для построения эпюр достаточно вычислить их ординаты в характерных точках и соединить полученные значения линиями.
Характерными точками являются: точки приложения сосредоточенных нагрузок, места приложения моментов, точки начала и конца распределенной нагрузки, и для эпюры «M» определяют так же значения изгибающих моментов в местах, где поперечная сила равна нулю.
1. На незагруженных участках (между силами): эпюра «Q» постоянна и представляет собой прямую линию, параллельную оси балки, а эпюра «M» изменяется по наклонной прямой.
2. На участках с равномерно распределенной нагрузкой: эпюра «Q» изменяется по наклонной прямой, эпюра «M» изменяется по квадратной параболе.
3. Если поперечная сила, на каком либо участке балки имеет положительное значение, то значения изгибающих моментов на этом участке возрастает, если отрицательное, то изгибающие моменты убывают.
4. На участках балки, где поперечные силы отсутствуют (эпюра равна нулю), эпюра моментов имеет постоянное значение.
5. В местах, где эпюра поперечной силы, непрерывно изменяясь, проходит через нулевую точку, изгибающие моменты достигают экстремальных значений.
6. В сечениях расположенных под сосредоточенной силой, эпюра поперечных сил испытывает скачек равный сосредоточенной силе, а эпюра изгибающих моментов претерпевает излом, острие которого обращено в сторону действия силы.
7. В сечениях, где приложен сосредоточенный момент, эпюра «M» имеет скачек, равный значению этого момента, а эпюра «Q» в этих местах не изменяется.
Далее рассмотрим примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балках с использованием цифровых значений.
Пример. 10.4. Построить эпюры «Q», «M» для балки изображенной на рис. 10.9,а.
Решение. 1. Устанавливаем значение равнодействующей от равномерно распределенной нагрузки R = q·6 = 45·6 = 270 кН.
2. Определяем реакции в опорах балки
∑MА = 0; – VВ·6 + R·3 + F·2,7 = 0;
– VВ·6 + 270·3 + 85·2,7 = 0; VВ = 1039,5/6 = 173,25 кН.
∑MВ = 0; VА·6 – R·3 – F·3,3 = 0;
VА·6 – 270·3 – 85·3,3 = 0; VА = 1090,5/6 = 181,75 кН.
Проверка правильности проведенных расчетов реакций:
∑Y = 0; VА – R – F + VВ = 0; 181,75 – 270 – 85 + 173,25 = 0; 0 = 0; условие выполняется, следовательно, реакции определены правильно.
Строим эпюру «Q»:
3. Устанавливаем характерные точки в пролете балки: точка 1, в месте приложения силы и точка 2, в середине пролета балки.
4. Определяем проекции всех сил расположенных справа от опорного шарнира: проектируется опорная реакция QАправ = VА = 181,75 кН.
Последовательно определяем проекции всех сил расположенных справа и слева от точки 1: Q1прав = VА – q·2,7 = 181,75 – 45·2,7 = 60,75 кН; Q1лев = VА – q·2,7 – F = 181,75 – 45·2,7 – 85 = – 24,25 кН.
Затем определяем проекции всех сил расположенных справа и слева от точки 2: Q2прав = VА – q·3 – F = 181,75 – 45·3 – 85 = – 38,25 кН; Q2лев = Q2прав = – 38,25 кН.
Проекция сил слева от точки В: QВлев = VА – q·6 – F =181,75 – 45·6 – 85 = – 173,25 кН, затем, опорная реакция VВ уменьшает поперечную силу до нуля QВправ = VА – q·6 – F – VВ = 181,75 – 45·6 – 85 – 173,25 = 0 кН.
5. Откладывая от базисной линии значения поперечных сил в характерных точках и руководствуясь правилами построения эпюр, строим эпюру «Q» (рис. 10.9,б).
6. Определяем значения изгибающих моментов в характерных точках.
В опорных шарнирах: моменты равны нулю.
В точке 1: М1 = VА·2,7 – q·2,7·1,35 = 181,75·2,7 – 45·2,7·1,35 = 326,7 кН·м, здесь произведение q·2,7 равно равнодействующей распределенной нагрузки на участке длиной 2,7 м имеющей плечо (расстояние до точки 1) равное 1,35 м.
В точке 2: М2 = VА·3 – q·3·1,5 = 181,75·3 – 45·3·1,5 = 342,75 кН·м, здесь произведение q·3 равно равнодействующей распределенной нагрузки на участке длиной 3 м, имеющей плечо (расстояние до точки 2) равное 1,5 м.
7. Откладывая от базисной линии значения изгибающих моментов в характерных точках, строим эпюру «М» (рис. 10.9,в).
Пример. 10.5. Построить эпюры «Q», «M» для балки изображенной на рис. 10.10.
Решение. 1. Устанавливаем значение равнодействующей от равномерно распределенной нагрузки R = q·2,2 = 28·2,2 = 61,6 кН.
2. Определяем реакции в опорах балки:
∑MА = 0; R·6,1 – VВ·5 – М + F·1,2 = 0; 61,6·6,1 – VВ·5 – 200 + 120·1,2 = 0;
VВ = 319,76/5 = 63,952 кН.
∑MВ = 0; VА·5 – F·3,8 – М + R·1,1 = 0; VА·5 – 120·3,8 – 200 + 61,6·1,1 = 0;
VА = 588,24/5 = 117,648 кН.
Проверка расчетов реакций
∑Y = 0; VА – F + VВ – R = 0; 117,648 – 120 + 63,952 – 61,6 = 0; 0 = 0; условие выполняется, следовательно, реакции определены правильно.
3. Устанавливаем характерные точки в пролете балки: точка 1 в месте приложения силы и точка 2 в месте приложения момента, точка 3 в середине консольного участка, точка 4 на конце консольного участка балки.
4. В точке А с правой стороны проектируется опорная реакция QАправ = VА = 117,648 кН.
Проекции всех сил расположенных справа и слева от точки 1: Q1прав = VА = 117,648 кН; Q1лев = VА – F = 117,648 – 120 = – 2,352 кН. Внешний момент на значение поперечной силы в точке 2 влияния не оказывает.
Проекции всех сил расположенных справа и слева от точки В: QВлев = VА – F = 117,648 – 120 = – 2,352 кН. QВправ = VА – F + VВ = 117,648 – 120 + 63,952 = 61,6 кН.
Проекция сил расположенных слева и справа от точки 3: Q3лев = Q3прав = VА – F + VВ – q·1,1 = 117,648 – 120 + 63,952 – 28·1,1 = – 30,8 кН.
Проекция сил расположенных справа от точки 4: Q4прав = VА – F + VВ – q·2,2 = 117,648 – 120 + 63,952 – 28·2,2 = 0 кН.
5. Руководствуясь правилами построения эпюр, строим эпюру «Q» (рис. 10.10,б).
6. Определяем значения изгибающих моментов в характерных точках:
В шарнире (точка А) изгибающий момент равен нулю.
В точке 1: М1 = VА·1,2 = 117,648·1,2 = 141,178 кН·м.
В точке 2, где приложен внешний момент, значения изгибающих моментов следует определять слева и справа от точки. С левой стороны без учета внешнего момента, с правой стороны с учетом момента: М2лев = VА·3,2 – F·2 = 117,648·3,2 – 120·2 = 136,474 кН·м; М2прав = VА·3,2 – F·2 – М = 117,648·3,2 – 120·2 – 200 = – 63,526 кН·м.
В точке В: МВ = VА·5 – F·3,8 – М = 117,648·5 – 120·3,8 – 200 = – 67,76 кН·м.
В точке 3: М3 = VА·6,1 – F·4,9 – М + VВ·1,1 – q·1,1·0,55 = 117,648·6,1 – 120·4,9 – 200 – 63,952·1,1 + 28·1,1·0,55 = – 16,94 кН·м.
В точке 4: М4 = VА·7,2 – F·6 – М + VВ·2,2 – q·2,2·1,1 = 117,648·7,2 – 120·6 – 200 + 63,952·2,2 – 28·2,2·1,1 = 0 кН·м.
7. Откладывая от базисной линии значения изгибающих моментов в характерных точках, строим эпюру «М» (рис. 10.10,в).
Пример. 10.6. Построить эпюры «Q», «M» для балки изображенной на рис. 10.11,а.
Решение. 1. Устанавливаем значение равнодействующей от равномерно распределенной нагрузки R = q·2 = 38·2 = 76 кН.
2. Определяем реакции в опорах балки
∑MА = 0; + М – VВ·4 + F2·2,6 + R·1 + F1·0,8 = 0;
120 – VВ·4 + 75·2,6 + 76·1 + 40·0,8 = 0; VВ = 423/4 = 105,75 кН.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 |
