Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 9 )

Решение. 1. Первый элемент сечения – двутавр. По сортаменту прокатных двутавров устанавливаем его геометрические характеристики: высота h = 258 мм = 25,8 см, ширина b = 120 мм = 12 см, толщина стенки двутавра s = 5,8 мм = 0,58 см, площадь сечения А = 35,62 см2, момент инерции Ix = 4024 см4, Iy = 245,6 см4. Учитываем, что сечение двутавра в конструкции повернуто на 90° к положению, для которого определены моменты инерции в сортаменте, и соответственно: Ix1 = Iy = 245,6 см4; Iy1 = Ix = 4024 см4.

Статические моменты: Центр тяжести двутавра расположен в его геометрическом центре и, статические моменты инерции всего сечения двутавра относительно осей х1 и у1 проведенных через его центр тяжести, равны нулю (Sx1 = 0; Sу1 = 0).

Определяем значения статических моментов для других элементов сечения относительно осей х1 и у1, совпадающих с центром тяжести двутавра.

2. Второй элемент сечения - пластина: ось х1 совпадает с ее центром тяжести и ее статический момент Sx1,2 = 0; вертикальная ось, проведенная через центр тяжести пластины у2, находится от оси у1 на расстоянии равном половине высоты двутавра и половине ширины второго элемента х2 = (25,8/2+6/2), статический момент Sу1,2 = А2·х2 = 6·4(25,8/2+6/2) = 691,2 см3. Моменты инерции относительно осей х1, у2 определяем используя формулы из таблицы 8.1

3. Третий элемент сечения – пластина: ось у1 совпадает с ее центром тяжести и статический момент Sу1, 3 = 0; горизонтальная ось, проведенная через центр тяжести пластины х2, находится на расстоянии от оси х1 равном половине толщины стенки двутавра и половине высоты третьего элемента у3 = (0,58/2+15/2). Статический момент относительно оси х1 равен Sх1, 3 = А3·у3 = 4·15(0,58/2+15/2) = 467,4 см3. Для третьей части элемента моменты инерции относительно осей х2, у1 определяем по формулам таблицы 8.1

Определяем положение общего центра тяжести сечения, который находится на расстояниях (х) и (у) от осей х1 и у1 проходящих через центр тяжести двутавра

Проводим оси X,Y, через общий центр тяжести всего сечения.

Устанавливаем расстояния от центров тяжести каждой части сечения до общего центра тяжести: а1 = а3 = 5,8 см, а2 = х2 – а1 = (25,8/2 + 6/2) – 5,8 = 10,1 см;

z1 = z3 = 3,9 см, z2 = у3 – z1 = (0,58/2 + 15/2) – 3,9 = 3,89 см.

Определяем моменты инерции относительно общего центра тяжести по формулам (8.4)

Задача 8.1. Определить положение центра тяжести сечения и моменты инерции относительно осей проведенных через центр тяжести сечения. Размеры элемента изображены на рис. 8.2.

 

Кручение

Общие положения. Эпюры крутящих моментов

Кручению подвергаются брусья круглого сечения, такие как валы двигателей, оси машин, а также элементы пространственных конструкций. Кручение в брусе возникает при воздействии на него внешних пар сил, лежащих в плоскостях перпендикулярных его продольной оси (рис. 9.1). Моменты этих пар называют вращающими моментами Мвр. При установившемся (равномерном) вращении вала, пренебрегая трением в подшипниках, в которых закреплен вал, получаем условие равновесия ∑Mвр = 0.

Внешние моменты в поперечных сечениях бруса вызывают появление внутренних моментов, которые называются крутящими моментами Мкр. Других внутренних силовых факторов при таком нагружении не возникает. Крутящие моменты определяют методом сечений. Мысленно рассекаем брус на две части и одну из частей отбрасываем, воздействие отброшенной части заменяем внутренним усилием Мкр, и определяем его значение из уравнения равновесия для оставшейся части.

 

Крутящий момент, возникающий в поперечном сечении бруса, численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных с одной стороны от рассматриваемого сечения.

Правило знаков: если при взгляде от сечения, крутящий момент направлен по ходу часовой стрелки, его считают положительным, если против часовой стрелки – отрицательным.

Для нахождения опасных значений крутящих моментов, строят эпюры их изменения по длине оси z.

Пример 9.1. Определить значения крутящих моментов и построить эпюру их распределения по длине вала (рис. 9.2). На вал передаются внешние моменты: М1 = 500 Н·м; М2 = 1600 Н·м; М3 = 800 Н·м; М4 = 300 Н·м.

 

Решение. Сумма всех внешних вращающих моментов, с учетом направления их вращения, (см. рис. 9.2) равна нулю ∑Mвр = 0; М1 – М2+ М3 + М4 = 0; 500 – 1600 + 800 + 300 = 0. Выполнение этого условия говорит о том, что вал вращается равномерно, а не ускорено.

Поочередно рассматриваем сечения, обозначенные на рис. 9.2. Алгебраическая сумма внешних моментов взятых с левой или с правой стороны от сечения равна крутящему моменту в сечении. В сечениях рассматриваемых с левой стороны – 1-1: Мкр,1 = 0; 2-2: Мкр,2 = М1 = 500 Н·м; 3-3: Мкр,3 = М1 – М2 = 500 – 1600 = – 1100 Н·м; 4-4: Мкр,4 = М1 – М2 + М3 = 500 – 1600 + 800 = – 300 Н·м; 5-5: Мкр,5 = М1 – М2 + М3 + М4 = 500 – 1600 + 800 + 300 = 0.

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов. Положительные значения моментов откладываем вниз от базисной линии, а отрицательные – вверх. В пределах каждого участка, между точками в которых приложены смежные внешние моменты, значение крутящих моментов постоянны.

Задача 9.1. Построить эпюру крутящих моментов для вала изображенного на рис. 9.3. Внешние моменты М1 = 1450 Н·м; М2 = 600 Н·м; М3 = 2050 Н·м.

 

9. 2.

Напряжения и деформации при кручении вала

В поперечных сечениях элементов при их закручивании возникают только касательные напряжения. Обычно на кручение работают брусья (валы) круглого или кольцевого поперечных сечений.

Рассмотрим участок вала длиной l, его левое поперечное сечение будем считать закрепленным неподвижно, а к правому сечению приложим крутящий момент Мкр (рис. 9.4). В элементе возникают деформации сдвига, вызванные его закручиванием, то есть правое поперечное сечение вала, сместится относительно левого. Любая наружная образующая АВ, или внутренняя образующая ЕС, сместятся по направлению закручивания вала и возникают перекосы поперечных сечений определяемые углами сдвига, соответственно, для внешних образующих γmax и для внутренних – γ. Мерой деформации при кручении является угол сдвига γ.

Радиус крайнего правого сечения ОВ поворачивается в положение ОВ1 на угол φ, называемый углом закручивания. Учитывая незначительность деформаций и выражая ВВ1 и СС1 как дуги окружностей, устанавливаем соотношения между углом сдвига и углом закручивания γ ≈ tg γ = ВВ1/ АВ; γl = φρ или γmaxl = φr, откуда

γ = ρφ / l; (9.1)

γmax = rφ / l. (9.2)

Выражая из (9.2) отношение φ / l = γmax/ r, и подставляя в (9.1) получаем γ = γmaxρ / r. Отсюда следует, что угол сдвига в поперечном сечении вала прямо пропорционален расстоянию от его оси ρ.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называется относительным углом закручивания, или углом закручивания, приходящимся на единицу длины

θ = φ / l , (9.3)

подставив (9.3) в (9.2) получаем

γ = ρθ. (9.4)

Сдвиг поперечных сечений вала вызывает появление касательных напряжений τ. На основании закона Гука, при сдвиге получаем

τ = Gγ = Gρθ; (9.5)

τmax = Grθ, (9.6)

где G – модуль сдвига.

Касательные напряжения в поперечном сечении изменяются линейно по длине радиуса от нуля до наибольшего значения при ρmax = r (рис. 9.4). Выделим на поперечном сечении элементарную площадку dА, касательная сила на этой площадке τ·dА, а момент этой силы относительно центра вала равен τ·dА·ρ. Сумма всех моментов возникающих в поперечном сечении