Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 16 )

Решение. Определяем реакции в защемлении консольной балки: ∑ МА = 0; Fl – МА = 0; МА = Fl = 12,0·2,5 = 30,0 кН·м. ∑Y = 0; VA – F = 0; VA = F = 12,0 кН. Строим эпюру моментов от внешних сил (рис. 10.23,а). Прикладываем к консольной балке единичную силу и определяем реакции в заделке:

Строим эпюру моментов от единичной силы учитывая, что (рис. 10.23,б).

Площадь эпюры моментов от внешних сил ω = 1/2МА·l = 1/2·30,0·2,5 = 37,5 кН·м2. Центр тяжести эпюры находится на расстоянии 1/3l = 1/3·2,5 = 0,833 м. Значение ординаты у1 находим из соотношения сторон треугольников у/l = у1/(l – 1/3l); у1 = 2,5·(2,5 – 0,833)/2,5 = 1,667. Перемножаем площадь эпюры от внешних сил на ординату ω у1 = 37,5·1,667 = 62,51 кН·м2.

Определяем момент инерции сечения бруса (см. табл. 8.1), относительно оси изгиба Iх = bh3/12 = 20·27,53/12 = 34661,46 см2 = 34661,46·10 –8 м4.

Определяем величину прогиба в точке k по формуле (10.15). Учитывая, что все расчеты велись в метрах, переводим значения модуля упругости древесины Е = 10000 МПа = 1·103 кН/см2 = 1·107 кН/м2. fmax = 1,8 см < fu = 2l/150 = 2·250/150 = 3,33 см, прогиб балки меньше предельного значения.

Задача 10.4. Определить перемещение в точке k по правилу Верещагина для балки, загруженной двумя сосредоточенными силами (рис. 10.21), выполненной из стального прокатного двутавра № 26Б1. Сравнить полученные значения со значениями, полученными в задаче 1.3.

Задача 10.5. Определить перемещение в точке k по правилу Верещагина для балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 10.26), выполненной из стального прокатного двутавра № 18Б1, Iх = 1063 см4.

 

Понятие о расчете статически неопределимых балок

Статически неопределимые балки имеют больше реакций, чем их можно определить уравнениями статики. Для определения реакций в статически неопределимых балках приходится прибегать к дополнительным приемам, которые будут рассмотрены далее на примере 10.10.

Пример 10.10. Определить опорные реакции в статически неопределимой балке изображенной на рис. 10.27 и построить эпюры внутренних усилий.

Решение. На рисунке 10.27 приведена балка в которой в заделке А возможно возникновение трех реакций: НА, VА, МА, так как на балку действует только вертикальные силы, по уравнению статики ∑Х = 0 реакция НА = 0 и на опоре А остаются две неизвестных реакции. На опоре В возникает одна реакция VВ. С помощью оставшихся уравнений статики можно определить только две реакции из трех неизвестных, следовательно, балка один раз статически неопределима.

Балка находится в состоянии равновесия, если отбросить опору В, заменив ее реакцией VВ, то ее статическое состояние не изменится. Отбрасываем опору VВ и вместо нее прикладываем реакцию, полученная схема балки называется основной системой. Основная система представляет собой консольную балку, для которой, используя схемы 5, 6 в таблице 10.1, можно определить прогибы в точке В. Реакция VВ стремится переместить опору В вверх – знак прогиба плюс, а распределенная нагрузка стремится переместить опору вниз – знак прогиба минус.

 

Учитывая, что фактически опора В не перемещается, приравниваем полученный прогиб нулю и получаем

отсюда после сокращения получаем

Значение реакции VВ найдено. Теперь, используя уравнения статики и найденное значение реакции, определяем реакции в заделке (на опоре А)

∑ МА = 0; – VBl + ql·l/2 – МА = 0;

∑Y = 0; VA – ql + VВ = 0;

Все реакции в балке найдены, приступаем к строительству эпюр поперечных сил (рис. 10.27,б), откладываем реакции на опорах и соединяем их наклонной линией.

Определяем значения изгибающих моментов в середине балки и в точке D, точке перехода поперечных сил от плюса к минусу. Расстояние х до точки D определяем по соотношению треугольников: отсюда, подставив значения реакций получаем

Таблица 10.2. Формулы для определения площадей и центров тяжести фигур

№ п/п.	Фигуры	Площадь ω	Абсциссы центров тяжести
х1	х2
1		аh	1/2а	1/2а
2		1/2аh	1/3а	2/3а
3		1/3аh	1/4а	3/4а
4		2/3аh	3/8а	5/8а
5		2/3аh	1/2а	1/2а
6		2/3аh	1/2а	1/2а

Изгибающий момент в точке D определяем, суммируя моменты с правой стороны

Изгибающий момент в середине балки

Изгибающий момент в шарнире на опоре В равен нулю. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.27,б), эпюра представляет собой квадратную параболу.

Пример 10.11. Определить реакции для балки рассмотренной ранее в примере 10.10, используя другую основную систему (рис. 10.27).

Решение. Использованная в примере 10.10 основная система не является единственной возможной. Можно в качестве неизвестной реакции принять реактивный момент в заделке МА и вместо защемления, в точке А основной системы принять шарнирно неподвижную опору, к которой приложен реактивный момент МА (рис. 10.28,б).

 

Неизвестный реактивный момент можно найти, используя для основной системы уравнения углов поворота (табл. 10.1, схемы 3, 4). Учитывая, что в исходной балке угол поворота в заделке равен нулю, получаем: отсюда

Зная реактивный момент теперь можно определить остальные неизвестные реакции в балке: ∑ МА = 0;

∑Y = 0; VA – ql + VВ = 0;

Полученные значения реакций идентичны с решением, приведенным в примере 10.10, следовательно, они определены правильно.

Пример 10.12. Определить опорные реакции в статически неопределимой двухпролетной балке изображенной на (рис. 10. 28) и построить эпюры «Q», «М».

Решение. Отбрасываем промежуточную опору (в точке В) и ее действие заменяем реакцией VВ, получаем основную систему в виде однопролетной балки имеющей пролет L = 2l. Основная система загружена равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенной силой (реакцией VВ).