Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 13 )

∑MВ = 0; VА·4 – F1·3,2 – R·3 – F2·1,4 + М = 0;

VА·4 – 40·3,2 – 76·3 – 75·1,4 + 120 = 0; VА = 341/4 = 85,25 кН.

Проверка расчетов реакций

∑Y = 0; VА – F1 – R – F2 + VВ = 0; 85,25 – 40 – 76 – 75 + 105,75 = 0; 0 = 0; условие выполняется, следовательно, реакции определены правильно. Строим эпюру «Q»:

3. Устанавливаем характерные точки в пролете балки: точки 1 и 4, в местах приложения силы, точка 2 в середине и точка 3 на конце участка действия распределенной нагрузки, точка 5 в конце консольного участка.

В точке А с правой стороны проектируется опорная реакция QАправ = VА = 85,25 кН. Проекции всех сил расположенных справа и слева от точки 1: Q1 лев = VА – q·0,8 = 85,25 – 38·0,8 = 54,85 кН; Q1 прав = VА – q·0,8 – F = 85,25 – 38·0,8 – 40 = 14,85 кН.

Проекции всех сил расположенных справа и слева от точки 2: Q2лев = Q2прав = VА – F – q·1 = 85,25 – 40 – 38·1 = 7,25 кН.

 

Проекция сил слева и справа от точки 3: Q3лев = Q3прав = VА – F – q·2,0 = 85,25 – 40 – 38·2 = – 30,75 кН.

Проекция сил слева от точки 4: Q4лев = VА – F – q·2,0 = 85,25 – 40 – 38·2 = – 30,75 кН.

Q4прав = VА – F1 – q·2,0 – F2 – VВ = 85,25 – 40 – 38·2,0 – 75 = – 105,75 кН.

Проекция сил слева и справа от точки В:

QВлев = VА – F1– q·2,0 – F2 = 85,25 – 40 – 38·2,0 – 75; QВправ = VА – F1– q·2,0 – F2 – VВ = 85,25 – 40 – 38·2,0 – 75 – 105,75 = 0 кН.

5. Руководствуясь правилами построения эпюр, строим эпюру «Q» (рис. 10.11,б).

6. Определяем значения изгибающих моментов в характерных точках.

В шарнире (точка А) изгибающий момент равен нулю.

В точке 1: М1 = VА·0,8 – q·0,8·0,4 = 85,25·0,8 – 38·0,8·0,4 = 56,04 кН·м.

В точке 2, месте, где приложена равнодействующая распределенной нагрузки: М2 = VА·1,0 – F1·0,2 = 85,25·1,0 – 40·0,2 = 66,25 кН·м;

В точке 3: М3 = VА·2 – F1·1,2 – q·0,8·0,4 = 85,25·2 – 40·1,2 – 38·2,0·1,0 = 46,5 кН·м.

В точке 4: М4 = VА·2,6 – F1·1,8 – q·2,0·1,6 = 85,25·2,6 – 40·1,8 – 38·2,0·1,6 = 28,05 кН·м.

В точке В: МВ = VА·4 – F1·3,2 – q·2,0·3 – F2·1,4 = 85,25·4 – 40·3,2 – 38·2,0·3 – 75·1,4 = – 120 кН·м.

В точке 5: М4лев = VА·5,4 – F1·4,6 – q·2,0·4,4 – F2·2,8 + VВ·1,4 = 85,25·5,4 – 40·4,6 – 38·2,0·4,4 – 75·2,8 + 105,75·1,4 = – 120 кН·м.

М4прав = VА·5,4 – F1·4,6 – q·2,0·4,4 – F2·2,8 + VВ·1,4 + М = 85,25·5,4 – 40·4,6 – 38·2,0·4,4 – 75·2,8 + 105,75·1,4 + 120 = 0 кН·м.

Откладывая от базисной линии значения изгибающих моментов в характерных точках, строим эпюру «М» (рис. 10.11,в).

Задача 10.1. Определить опорные реакции в балке и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки (рис.10.12).

 

Задача 10.2. Определить опорные реакции в балке и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки (рис.10.13).

Задача 10.3. Определить опорные реакции в балке и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки (рис.10.14).

 

Нормальные напряжения в поперечном сечении балки при прямом поперечном изгибе

Рассмотрим участок изгибаемого элемента, который под действием внешних сил испытывает так называемый чистый изгиб, то есть в этом месте действуют изгибающие моменты Мх и отсутствуют поперечные силы Q (рис. 10.12,а).

Для определения характера деформирования балки, до приложения внешних сил, нанесем на элемент систему вертикальных параллельных линий и проведем центральную продольную линию (рис. 10.12,б).

Приложим к элементу изгибающие моменты. Элемент от воздействия изгибающих моментов деформируется и изогнется выпуклостью вниз.

Линии, нанесенные на боковой поверхности останутся прямыми, но их параллельность нарушится. Расстояния между концами линий в верхней части станет меньше, а в нижней части больше, чем до деформирования балки. Следовательно, при таком изгибе верхняя половина балки испытывает сжатие, а нижняя растяжение. Расстояния между вертикальными линиями в середине высоты балки dz, останутся прежними, что говорит о том, что там нет ни удлинения, ни сжатия.

Продольный слой в элементе, не испытывающий деформаций при изгибе называют нейтральным слоем. Его проекция называется нейтральной линией. В соответствии с гипотезой плоских сечений считается, что при изгибе каждое поперечное сечение элемента, оставаясь плоским, поворачивается вокруг линии пересечения с нейтральным слоем.

Выделим двумя бесконечно близкими сечениями участок балки длиной dz (рис. 10.12,б). В результате изгиба поперечные сечения выделенного участка взаимно повернутся на угол dθ. Нейтральный слой изогнется, но его длина не изменится.

dz = ρ·dθ (10.4)

где ρ – радиус кривизны.

Волокна расположенные выше или ниже нейтрального слоя меняют свою длину. Выделим волокно, расположенное на расстоянии y от нейтрального слоя. Абсолютное удлинение волокна Δ(dz) прямо пропорционально расстоянию волокна от нейтрального слоя. Относительное удлинение волокна ε равно отношению абсолютного удлинения к первоначальной длине, с учетом формулы (10.4) получаем

ε = Δ(dz) / dz = [(ρ + y)·dθ – ρ·dθ] / ρ·dθ, отсюда

(10.5)

 

Из формулы (10.5) следует, что относительное удлинение выделенного волокна при изгибе прямо пропорционально расстоянию волокна y от нейтрального слоя.

Используя закон Гука σ = Eε, и подставляя в него зависимость (10.5), определяем нормальные напряжения

(10.6)

Формула (10.6) показывает, что напряжения по длине волокна постоянны и изменяются по высоте элемента линейно, в зависимости от расстояния у (рис. 10.12,в).

Изгибающий момент Мх представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил сечения dN = σ·dА, возникающих на бесконечно малых площадках, относительно оси изгиба – х (рис. 10.13) . Изгибающий момент можно выразить в виде

(10.7)

 

Интеграл = Ix является моментом инерции сечения относительно оси х, см. формулу (8.3). Подставляя (8.3) в (10.7) получаем откуда

(10.8)

где отношение 1/ρ называется кривизной изогнутой оси балки; EIx – жесткость сечения балки при изгибе.

Подставив значение кривизны (10.8) в формулу (10.6), получаем

(10.9)

где Iх – момент инерции сечения, для прямоугольного сечения шириной b и высотой h относительно оси x момент инерции сечения определяется как Ix = bh3/12. Для других сечений и осей, значения моментов инерции можно определять по таблице 8.1.

Формула (10.9) позволяет по изгибающему моменту, действующему в сечении, находить нормальные напряжения в волокнах балки, расположенных на любом расстоянии (у) от нейтральной оси. Значения изгибающего момента и координат (у) удобнее брать по абсолютным значениям, а знак напряжений устанавливать исходя из характера деформаций, растяжение – плюс, сжатие – минус.

Наибольших (наименьших) значений нормальные напряжения достигают в крайних волокнах сечения балки, их значения при изгибе относительно оси х определяют по формуле

(10.10)

где Wx – геометрическая характеристика, называемая моментом сопротивления сечения, измеряется в см3 и определяется как

(10.11)

Для прямоугольного сечения, при уmax = h/2, и учитывая, что получаем

(10.12)

при изгибе относительно оси у получаем

(10.13)

Пример 10.7. Определить значения моментов сопротивления относительно осей х, у, для прямоугольной балки рассмотренной в примере 8.1.