Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 11 )

Изгибающий момент в любом поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме всех моментов от внешних сил (включая реакции), действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов связано с вызываемой ими деформацией балки: если моменты изгибают балку выпуклостью вниз, они считаются положительными, выпуклостью вверх – отрицательными (рис. 10.5).

 

При изгибе выпуклостью вниз, растянутые волокна балки находятся внизу, а сжатые вверху, а при изгибе выпуклостью вверх наоборот – растянутые волокна вверху, а сжатые внизу. Положение эпюры моментов относительно нейтральной линии соответствует растянутым волокнам балки. Поэтому говорят, что эпюру моментов строят на растянутом волокне, т. е. если волокно растянуто внизу балки то и эпюра изгибающих моментов откладывается вниз, если вверху, эпюра откладывается вверх от базисной линии.

 

Внутренние усилия Q, M, возникающие в различных сечениях балки зависят от внешних нагрузок. Мысленно перемещая поперечные сечения по длине балки (вдоль ординаты z) можно установить зависимость изменения поперечных сил и зависимость изменения изгибающих моментов, и построить графики этих изменений. Такие графики изменений поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки называют эпюрами.

Анализируя эпюры, определяют наиболее опасные сечения балки, в которых следует проверять прочность. Чаще всего это места, в которых значения Q и M достигают наибольших (максимальных) абсолютных значений, или места где меняются размеры поперечных сечений балки.

Построение эпюр начинают с проведения базисной (нулевой) линии, которая проводится параллельно продольной оси балки и от которой затем откладывают значения усилий. Положительные значения поперечных сил откладывают от базисной линии вверх, отрицательные вниз. Для изгибающих моментов наоборот, положительные значения откладывают вниз, а отрицательные вверх.

Рассмотрим на примерах принципы построения эпюр при различных схемах загрузки балок.

Пример 10.1. Построить эпюры «Q», «M» для балки, на которую в пролете в точке С действует сила F (рис. 10.6,а).

 

Решение. Определение опорных реакций. Так как внешняя сила F действует вертикально вниз, возникают две направленные вверх вертикальные реакции: VА, VВ, которые определяем через уравнения статики

∑MА = 0; – VВl + Fа = 0; VВ = Fа / l;

∑MВ = 0; VАl – Fb = 0; VА = Fb / l.

Проверяем полученные реакции

∑Y = 0; VА – F + VВ = 0; Fb / l – F + Fа / l = (F / l )·(b + а – l ) = 0, уравнение выполняется, следовательно реакции определены правильно.

Построение эпюры «Q». Разбиваем балку на два участка АС и СВ. На участке АС возьмем поперечное сечение 1-1 на расстоянии z1 от точки А и определим алгебраическую сумму проекций всех внешних сил действующих слева от сечения на вертикальную ось (рис. 10.6,б)

Q1 = VА = Fb / l,

поперечные силы в любом поперечном сечении на участке АС одинаковы.

На участке СВ возьмем поперечное сечение 2-2 на расстоянии z2 от точки А, алгебраическая сумма проекций всех внешних сил, действующих слева от сечения на вертикальную ось (рис. 9.6,б)

Q2 = VА – F = Fа / l – F,

соответственно, сумма проекций всех внешних сил действующих справа от сечения (с учетом правила знаков) Q2 = – VВ.

Поперечные силы в любом сечении на участке СВ так же одинаковы, но имеют отрицательные значения. Строим эпюру «Q», откладывая от базисной линии положительные значения вверх, отрицательные вниз (рис. 10.6,в).

Построение эпюры «М». Момент в сечении 1-1 определяем как алгебраическую сумму всех моментов от внешних сил относительно сечения, взятых с левой стороны

M1лев = VА z1 = (Fb / l ) z1;

затем определяем момент в сечении 2-2, суммируя моменты от опорной реакции и от силы F двигаясь с левой стороны

M2лев = VА z2 – F(z2 – а) = (Fb / l ) z2 – F(z2 – а).

Момент относительно точки С, определенный суммированием моментов с левой стороны

MСлев = VА а = (Fb / l ) а = Fаb / l.

Моменты можно суммировать и с правой стороны, учитывая правила знаков MСправ = VВ b = (Fа / l) b = Fаb / l, результат получаем одинаковый.

Строим эпюру, откладывая от базисной линии положительные значения изгибающих моментов вниз (рис. 10.6,г). Моменты возрастают от нуля в шарнире на опоре А, до наибольшего значения в точке С (по мере увеличения расстояния z), а затем уменьшаются до нуля в шарнире на опоре В.

Пример 10.2. Построить эпюры «Q», «M» для балки на которую по всей длине действует распределенная нагрузка интенсивностью q (рис. 10.7,а).

Решение. Определение опорных реакций. Определяем равнодействующую всей равномерно распределенной нагрузки R = ql. Реакции на опорах действует вертикально вверх, и, учитывая симметричность загружения балки, получаем VА = VВ = ql / 2, т. е. половина внешних сил воспринимается реакцией на опоре А и половина реакцией на опоре В.

Построение эпюры «Q». Возьмем поперечное сечение 1-1 на расстоянии z от точки А и определим алгебраическую сумму проекций всех внешних сил, действующих слева от сечения, на вертикальную ось (рис. 10.7,б)

Q1 = VА – Rz = VА – q·z = ql / 2 – q·z = q (l / 2 – z), где Rz = q·z представляет собой равнодействующую распределенной нагрузки на участке длиной z. Полученное выражение является уравнением наклонной линии.

При z = 0 поперечная сила равна опорной реакции QА = VА = ql / 2. При z = l, QВ = VА – ql = ql / 2 – ql = – ql / 2 = – VВ. При z = l / 2, Q = VА – q l / 2 = ql / 2 – q l / 2 = 0.

Строим эпюру «Q», откладывая от базисной линии положительные значения вверх, отрицательные вниз (рис. 10.7,в).

 

Построение эпюры «М». Изгибающий момент в сечении 1-1 определяем как алгебраическую сумму всех моментов возникающих от внешних сил относительно сечения, взятых с левой стороны

M1лев = VА z1 – Rz1 = (ql / 2)·z1 – q· z1· z1/2,

где z1 / 2 плечо равнодействующей Rz = q· z1 относительно сечения 1-1.

При z = 0 и z = l, момент равен нулю и он достигает наибольших значений при z = l / 2. Изгибающий момент в середине балки

M max = VА·l/2 – q l·l/4 = (ql / 2)·l / 2 – q l·l/4 = q l 2/8. Полученное уравнение представляют собой квадратную параболу. Строим эпюру, откладывая положительные значения вниз от базисной линии (рис. 10.7,г).

Пример 10.3. Построить эпюры «Q», «M» для балки нагруженной моментом, действующим в пролете (рис. 10.8).

Решение. 1. Определение опорных реакций. Внешний момент на координатные оси не проектируется, и из условия ∑Y = 0 следует, что в балке возникают вертикальные опорные реакции, равные по модулям и действующие разнонаправлено. Анализируя схему изгиба балки (рис. 10.8,а) видно, что балка стремится оторваться от опоры А, следовательно, реакция в опоре будет направлена вниз, на опоре В момент прижимает балку к опоре, а реакция направлена вверх: ∑Y = 0; – VА + VВ = 0; VА = VВ. Определяем значение реакций через момент ∑MВ = 0; – VА·l + М = 0; VА = VВ = М / l.

2. Построение эпюры «Q». По всей длине балки от опоры А до опоры В на вертикальную ось проектируется только опорная реакция Q = – VА = М / l. Строем эпюру «Q» (рис. 10.8,в), эпюра имеет отрицательное значение.

3. Построение эпюры «М». На балке можно выделить два участка АС и СВ. На участке АС алгебраическая сумма моментов всех сил расположенных слева от сечения 1-1

M1лев = – VА· z1 = – (М / l )·z1, момент изменяется, от нуля на опоре А до значений МС, имея отрицательные значения, при z1 = а

MСлев = – (М / l ) а.

Значение моментов на участке СВ

M2лев = – VА z2 + М = – (М / l )·z2 + М = М / l (l – z2).

В точке С, где приложен внешний момент, возникает скачек эпюры изгибающих моментов (моменты изменяются от отрицательного значения до положительного), а затем, по мере удаления от точки С изгибающие моменты убывает до нуля на опоре В.