Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 15 )

Расчетные формулы принимаем из таблицы 10.1. Размер пролета l подставляем в сантиметрах, значение распределенной нагрузки на 1 см длинны, q = 10 кН/м = 0,1 кН/см.

fmax = f F, max + f q, max = – 1,9 + (– 2,04) = –3,94 см.

fmax = |–3,94| см > fu = l/200 = 600/200 = 3 см, прогиб балки больше требований норм, следует принять более жесткое сечение балки. Увеличиваем номер двутавра, принимаем следующий по сортаменту двутавр № 30Б1, имеющий момент инерции Ix = 6328 см4.

Определяем прогибы

fmax = f F, max + f q, max = – 1,2 + (– 1,29) = –2,49 см.

fmax = |–2,49| см < fu = l/200 = 600/200 = 3 см, прогиб балки меньше предела установленного нормами, окончательно принимаем балку выполненную из двутавра № 30Б1 и для него определяем наибольшие углы поворота.

Углы поворота на опорах, численно равны и направлены навстречу друг другу.

Задача10.3. Определить прогиб в балке в точке k (рис. 10.21). Балка выполнена из прокатного двутавра I№ 26Б1. Модуль стали Е = 2,06·104 кН/см2.

 

Определение прогибов по правилу Верещагина

Для определения значений прогибов по правилу Верещагина, выполняют ряд последовательных приемов.

1. По расчетной схеме балки определяют значения опорных реакций и строят эпюру моментов от внешних сил МF;

2. Строят эпюру моментов от так называемой единичной силы , которая не имеет размерности. Для того чтобы отличать единичную силу от других внешних сил, обозначаем ее с чертой расположенной сверху. Единичная сила прикладывается на расчетной схеме в точке, в которой хотят определить вертикальное перемещение балки.

3. Разбивают эпюру моментов МF на участки и определяют их площади ωi, а также положение центров тяжести этих участков см. табл. 10.2.

 

4. На эпюре моментов от единичной силы, определяют величины ординат уi расположенных под центрами тяжести участков эпюры моментов внешних сил. При этом учитывают, что участки эпюры внешних сил и единичной силы должны одновременно монотонно изменяться по линейному закону. Для расчета прогибов находят сумму произведений, площадей участков эпюры внешних сил на соответствующие ординаты их центров тяжести ∑ωi yi см. рис. 10.22, 10.23, примеры 10.8, 10.9.

а) Если какая либо из эпюр имеет разные угловые коэффициенты, ее рассматривают как нелинейную и разбивают эпюры на линейные участки (рис. 10.22,а – верхняя эпюра разбивается на два участка, т. к. нижняя имеет разные угловые коэффициенты).

б) Трапециевидную линейную эпюру удобно разбивать на две треугольные эпюры, для которых легко найти площади ω и положения центров тяжести (рис. 10.22,б).

в) Если одна из эпюр криволинейная, а другая ломаная, ее следует разбить на участки, в пределах которых она линейна, соответственно и криволинейную эпюру разбиваем на аналогичные по длине участки (рис. 10.23,а).

 

г) Если эпюра располагается по разные стороны от продольной оси, ординаты (у) берутся с разными знаками (рис. 10.23,б). При этом если эпюры имеют треугольные очертания, проще проводить вычисления на фиктивных эпюрах построенных на высотах настоящих, от этого значения вычислений не изменятся, т. к. добавленные площади равновелики и их произведение с ординатами имеют разные знаки ωy = ω1y1 – ω2y2.

5. Определяем вертикальные перемещения балки в точке приложения единичной силы k. Перемещение возникает по направлению единичной силы

(10.15)

где ук – перемещение; ωi – площади участков эпюры моментов от внешних нагрузок; yi – ординаты на эпюре моментов от единичной силы, расположенные под центрами тяжести участков эпюры моментов; Е – модуль упругости материала балки; Ix – момент инерции сечения балки относительно оси изгиба.

Подобным образом, прикладывая единичную силу к разным точкам по длине балки, можно определить прогибы в разных точках и построить линию изогнутой оси балки.

Пример. 10.8. Определить прогиб в середине балки. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой на длине 2 м (рис. 10.24,а). Балка выполнена из прокатного двутавра I№23Б1, который имеет момент инерции относительно оси изгиба Ix = 2996 см4. Предельный конструктивный прогиб fu = l/150.

Решение. 1. Определяем опорные реакции в балке:

∑ МВ = 0; VA·5 – qb·b/2= 0; VA 5,0 – 40·2,5·2,5/2 = 0; VA = 125/5 = 25 кН;

∑ МА = 0; – VВ·5 + qb(5 – b/2) = 0; – VВ 5,0 + 40·2,5(5 – 2,5/2) = 0; VВ = 375/5 = 75 кН.

2. Строим эпюру изгибающих моментов, для этого находим значение моментов в точке k.

Мk = VA·а = 25·2,5 = 62,5 кН·м. На участке А-k эпюра моментов изменяется по линейному закону от нуля до Мk = 62,5 кН·м, затем по квадратной параболе до нуля (рис. 10.24,б). В точке 1 значение момента соответствует его значению в точке k, это приводит к тому, что меняется монотонное изменение моментов, и участок k-В следует разбить на две части: k-1 и 1-В.

 

3. Прикладываем к расчетной схеме балки в точке k единичную силу и строим для нее эпюру моментов. Определяем реакции от единичной силы

Реакции от единичной силы, как и сама единичная сила не имеют размерностей.

4. Разбиваем эпюру изгибающих моментов «МF» на три участка, для которых определяем площади ωi и положение центров тяжести каждого участка:

Первая фигура ω1 = 1/2·а·Мk = 1/2 ·2,5·62,5= 78,125 кН·м2.

Вторая фигура ω2 = с·Мk + 2/3(М2 – Мk)·с = 1,25·62,5= 78,125 + 6,5 = 84,63 кН·м2, где М2 момент в середине второй фигуры М2 = 70,3 кН·м.

Третья фигура ω3 = 2/3·(b – с)·Мk = 2/3·(2,5 – 1,25)·62,5 = 52,08 кН·м2.

Центры тяжести (табл. 10.2) по горизонтали в первой фигуре от точки А находятся на расстоянии х1 = 2/3а = 2/3·2,5 = 1,667 м. Во второй фигуре от точки В на расстоянии х2 = 1/2с + (b – с) = 1/2·1,25 + 1,25 = 1,875 м. В третей фигуре от точки В на расстоянии х3 = 5/8(b – с) = 5/8·(2,5 – 1,25) = 0,78 м.

5. Момент в точке k от единичной силы принимаем за ординату (у) и определяем значение ординат расположенных под центрами тяжести фигур. Из отношения треугольников (рис. 10.22,б) имеем

6. Определяем величину прогиба в точке k по формуле (10.15), учитывая, что все расчеты велись в метрах, переводим значения: модуль упругости стали Е = 2,06·104 кН/см2 = 2,06·108 кН/м2; момент инерции двутавра Ix = 2996 см4 = 2996·10 –8 м4

fmax = 2,67 см < fu = l/150 = 500/150 = 3,33 см.

Вывод. Прогиб балки меньше предельного значения.

Пример 10.9. Определить перемещение в точке k для консольной балки загруженной сосредоточенной силой (рис. 10.25). Балка выполнена из деревянного бруса шириной b = 200 мм, высотой h = 275 мм. Модуль упругости древесины вдоль волокон Е = 10000 МПа. Предельный конструктивный прогиб fu = 2l/150.