Методическая разработка Техническая механика раздел «Сопротивление материалов» (стр. 22 )

Гибкость l	Коэффициенты j для элементов из стали с расчетным сопротивлением Ry, МПа	Древесина
200	230	240	280	320
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160	988 967 939 906 869 827 782 734 665 599 537 479 425 376 328 290	987 963 933 897 856 810 761 698 625 556 493 434 379 330 289 256	987 962 931 894 852 805 754 686 612 542 478 419 364 315 276 244	985 959 924 883 836 785 724 641 565 493 427 366 313 272 239 212	984 955 917 873 822 766 687 602 522 448 381 321 276 240 211 187	992 968 928 872 800 712 608 469 370 300 248 178 153 133 117 104

Примечание.

1. Значения коэффициентов j в таблице увеличены в 1000 раз.

2. Для определения промежуточных значений φ или при промежуточных значениях расчетных сопротивлений Ry допускается линейная интерполяция.

Устойчивость элементов при сжатии зависит от их гибкости, чем больше гибкость, тем быстрее (при меньших значениях силы) сжатый элемент потеряет устойчивость (изогнется, выпучится). Гибкости придали математическое определение, ее значение определяют по формуле

(13.3)

где λ – гибкость; lef – расчетная (эффективная) длина; i – радиус инерции. Ряд строительных норм расчетную длину элементов обозначает l0. Гибкость стержней ограничивается нормами проектирования и зависит от назначения конструкции, обычно она не должна превышать значений λпред ≈ 120….160, в некоторых элементах, например связях, допускается гибкость λпред = 200.

Расчет общей устойчивости выполняют по формуле

(13.4)

где N – сжимающая сила, действующая на элемент; φ – коэффициент устойчивости (продольного изгиба), который определяется по таблице 13.1.

Если конструкция выполнена из отдельных, соединенных между собой стержней, устойчивость может потерять не только весь элемент, но и его часть, расположенная между точками соединения. В этом случая необходимо проверять так называемую местную устойчивость.

Пример 13.1. Подобрать стержень основной стальной колонны. Стержень колонны выполнен из прокатного двутавра с параллельными гранями полок. Нагрузка N = 400 кН. Длина колонны l = 2,8 м. Расчетная схема колонны и ее сечение см. рис. 13.3.

Решение. 1. Принимаем сталь из которой сделан двутавр – С245. Определяем расчетное сопротивление стали по пределу текучести (см. табл. 6.2), назначая толщину проката от 2 до 20 мм, Ry = 240 МПа = 24 кН/см2.

2. Так как колонна не имеет ослаблений в сечении, расчет прочности не производим, а сразу рассчитываем колонну на общую устойчивость. Коэффициент условия работы принимаем равным единице, γc = 1,0.

Задаемся коэффициентом устойчивости φ = 0,7. Из формулы (13.4) определяем требуемую площадь сечения

 

3. По ближайшему большему значению площади принимаем двутавр 23Б1, см. табл. 3. Приложения. Характеристики двутавра: А = 32,91 см2; ix = 9,54 см, iy = 2,47 см.

4. Находим значение расчетной длины колоны (см. формулу (13.2) и табл. 13.1)

lef = μl = 1,0 · 2,8 = 2,8 м = 280 см.

5. Проверяем подобранное сечение: по формуле (13.3) определяем наибольшую фактическую гибкость: λх = lef /iх = 280/9,54 = 29,4; λy = lef /iy = 280/2,47 = 113,4.

По наибольшей гибкости, определяем фактическое значение коэффициента устойчивости (табл. 13.1) φ = 0,46 (определено с интерполяцией для λy = 113,4).

6. Проверяем устойчивость колонны

общая устойчивость не

обеспечена, так как полученные напряжения больше расчетного сопротивления стали. Увеличиваем сечение двутавра и снова проверяем устойчивость.

7. Принимаем двутавр с большими расчетными характеристиками – двутавр № 26Б1, характеристики двутавра: А = 35,62 см2; ix = 10,63 см, iy = 2,63 см. Проверяем новое сечение: λy = lef /iy = 280 / 2,63 = 106,5; φ = 0,524;

Общая устойчивость обеспечена.

8. Определяем предельную гибкость для основных колонн по формуле:

λпред = 180 – 60 α (см. табл. Приложения), где коэффициент α = N/(φΑRyγc) = 400/(0,5·35,62·24·1,0) = 0,936, значение коэффициента α всегда принимается не менее α = 0,5. Значение предельной гибкости λпред. = 180 – 60α = 180 − 60·0,936 = 123,8. Проверяем гибкость λy = 106,5 < λпред. = 123,8, гибкость в пределах нормы. Окончательно принимаем стержень колонны из широкополочного двутавра 26 Б1.

Пример 2.16. Проверить общую устойчивость стержня основной колонны. Расчетная схема колонны и ее сечение приведены на рис. 13.4. Нагрузка N = 2800 кН. Коэффициент условия работы γс = 1,0. Длина колонны l = 6 м. Стержень колонны сварен из листов: сечения листов полок 300 × 14 мм, сечение стенки 300 × 10 мм. Сталь С345 (см. табл. 6.2).

 

Решение. 1. Определяем расчетное сопротивление стали по пределу текучести (см. табл. 6.2) Ry = 315 МПа = 31,5 кН/см2.

2. Расчетная длина колонны по формуле (13.2): lef = μl = 0,7 · 6,0 = 4,2 м.

3. Находим площадь сечения колонны: А = 2 · 30 · 1,4 + 30 · 1,0 = 114 см2.

4. Определяем меньший момент инерции сечения колонны. Таким моментом будет момент инерции относительно оси у (при определении момента инерции стенкой пренебрегаем) Iу = 2(tf bf3/12) = 2(1,4·303/12) = 6300 см4.

5. Определяем радиус инерции:

6. Находим гибкость по формуле (13.3): λmax = lef /iу = 420/7,4 = 56,8.

7. По табл. 13.1 находим значение коэффициента устойчивости φ = 0,786.

8. Проверяем общую устойчивость по формуле (13.4)

условие (13.4) выполняется, общая устойчивость обеспечена.

9. Проверяем гибкость.

Находим предельную гибкость (табл. Приложения):

α = N/(φΑRyγc) = 2800/ (0,786·114·31,5·1,0) = 0,992 > 0,5;

λпред. = 180 – 60α = 180 − 60·0,992 = 120,5;

λy = 56,8 < λпред. = 120,5. Гибкость стержня колонны в пределах нормы. Принятое сечение стержня колонны обеспечивает ее общую устойчивость и удовлетворяет требованиям жесткости.

Задача 13.1. Подобрать сечение стержня основной стальной колонны из прокатного широкополочного двутавра и проверить общую устойчивость и гибкость. Нагрузка, действующая на колонну N = 550 кН. Сталь С345 – 4 (для сталей с обозначением категории С345 – 3, С345 – 4 расчетные сопротивления определяются так же, как для стали С345), коэффициент условия работы γс = 1. Длина колонны l равна расчетной длине lef = 3,2 м.

Задача 13.2. Проверить общую устойчивость стальной второстепенной колонны, выполненной из двутавра 20К1. Нагрузка, действующая на колонну, приложена по центру тяжести сечения, N = 100 кН. Сталь С245, коэффициент условия работы γс = 1,0. Колонна шарнирно закреплена вверху и внизу, длина стержня колонны l = 7,0 м (см. рис. 13.3).

Понятие о расчете конструкций на динамические нагрузки

Ранее были рассмотрены расчеты с учетом действия на элементы статических нагрузок, то есть нагрузок прикладываемых на элементы практически без ускорения, медленно. Вместе с тем на конструкции могут действовать динамические нагрузки. Динамическими нагрузками называют нагрузки, которые достаточно быстро меняют свое значение, положение или направление действия.

Динамические нагрузки подразделяют на инерционные, ударные, подвижные, переменные либо повторно переменные (циклические).

Действие динамических нагрузок отличается от действия статических нагрузок.

Инерционные нагрузки

Инерционные нагрузки возникают при быстром подъеме или перемещении тел.

Рассмотрим усилия, возникающие в тросе лебедки при подъеме груза с ускорением (рис. 14.1). При быстром подъеме грузов на трос лебедки кроме веса груза передается сила инерции. Сила инерции Fin определяется как произведение массы груза m на ускорение a, с которым поднимается груз

Fin = ma, (14.1)

или учитывая, что m = G/g, где g – ускорение свободного падения, получаем