Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 10 )

Отображение площадки () в можно представить в виде композиции двух отображений: в ( в ) и () в . Получающееся в результате отображение в себя будет сильно сжимающим по направлениям , , что даёт возможность приближённо свести его к одномерному отображению. При построении отображения в ( в ) в силу близости площадок к седлу можно линеаризовать около него уравнения (1.38). Предполагая, что глобальный участок сепаратрисы не проходит вблизи особых точек, отображение () в допустимо считать линейным. Тогда (после надлежащего выбора масштаба) искомое отображение запишется в виде

(1.39)

где пропорционально , - седловая величина, а параметр - соответствующая координата первого пересечения площадки А сепаратрисой

Рисунок 1.11 - Отображение на плоскость для траектории, близкие к сепаратрисам в окрестности от седловой точки

При в системе (1.38) существует пара однообходных гомоклинических петель, причём знак выбран таким образом, чтобы при петли разрушались вовнутрь, а при - наружу. Таким образом, параметры и являются естественными координатами в М. Для рассматриваемого здесь случая предположение об ориентируемости петли [40] обусловливает положительность коэффициента . При всех отличных от нуля значениях изменением масштаба g можно обратить в единицу, однако нас интересует именно область значений , включающая нуль, - поэтому мы и в дальнейшем будем записывать модельное отображение в виде (1.39).

Вид отображения (1.39) для различных сочетаний знаков и представлен на рисунке 1.12.

По способу построения следует ожидать, что полученное отображение правильно отражает свойства, моделируемой системы только вблизи плёнки М для траекторий, целиком лежащих в малой окрестности сепаратрис, то есть при достаточно малых и ; не забывая об этом при распространении получаемых результатов на реальные системы дифференциальных уравнений, мы, тем не менее, будем исследовать отображение (1.39), не вводя указанных ограничений.

При описании свойств отображения (1.39) удобно пользоваться терминологией фазового пространства. Так, последовательность назовем траекторией. Периодическую последовательность , будем называть n - оборотным циклом. Из нечетности функции следует, что последовательность также будет n - оборотным циклом. Если эти последовательности сдвигом переводятся друг в друга, то есть фактически тождественны, то такой цикл будем называть симметричным. Если же преобразования сдвига, переводящего в не существует, то эти последовательности представляют собой разные циклы.

Рисунок 1.12 - График уравнения (1.39) для разных знаков параметров

Траектория, попавшая на устойчивое многообразие седла, больше не возвращается на площадку А, поэтому ей будет соответствовать последовательность , оканчивающаяся нулём. Траекторию , назовём сепаратрисой, порождаемой (). Если при каком - то n в такой последовательности , назовём её n- оборотной гомоклинической петлей. Так же как и несимметричные циклы, гомоклинические петли всегда существуют парами.

Последовательности содержат детальную информацию о поведении траекторий системы; между тем, иногда бывает достаточно знать, по какую сторону устойчивого многообразия седла окажется траектория после своего очередного возвращения; в таких случаях удобно применить двоичную кодировку траекторий, которую введём, сопоставив каждому пересечению единицу, к пересечению - нуль. Тогда всякой гомоклинической петле, порождаемой , будет соответствовать двоичная последовательность , начинающаяся с единицы, а существующей одномоментно с ней петле, порождаемой , - последовательность , получаемая из двоичной инверсией, то есть заменой всех нулей на единицы и наоборот.

Перейдем к исследованию свойств отображения (1.39) при положительной седловой величине. При отрицательных все траектории покидают окрестность начала координат; как видно из рисунка 1.13, в этой области значений параметров отображение (1.39) обладает парой устойчивых далёких от нуля неподвижных точек , к которым и притягиваются все траектории. Координаты этих точек удовлетворяют уравнению

(1.40)

решение которого при малых имеет вид:

(1.41)