Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 18 )

Было показано, что последовательность бифуркационных значений параметра сходятся экспоненциальным законом [3, p. 53-56, 44, p.197-201], которая подтверждается в эксперименте по динамике электронной схемы Лоренца [56]. В отличие от сценария удвоения периода, этот показатель не является единственной универсальной константой, так как ренормгрупповой анализ показывает, что класс универсальности полностью предопределен (в общем, не целое число) от значения седлового индекса ν>1. Примечательно, что аттрактор, который образуется в ходе этого бифуркационного сценария, занимает некоторое промежуточное положение между порядком и хаосом. Спектр Фурье траектории является ни дискретным, как в случае с регулярной динамикой, ни абсолютно непрерывным, как в случае хаотического или стохастического процесса, но поддерживается фрактальным множеством. Соответственно, наблюдения характеризуются широкополосными неэкспоненциальными корреляциями [57]. Если симметрия между компонентами неустойчивого многообразия нарушается, каждая бифуркация склеивания является событием коразмерности два. На плоскости двух параметров, существует множество путей, которые ведут от порядка к хаосу через вторичные образования гомоклинических траекторий, каждая из этих путей характеризуется своим собственным масштабным инвариантом [58-61].

Рождение хаотического аттрактора в фазовом пространстве системы Лоренца называется «гомоклиническим взрывом» [7, p. 199]. Как было указано, бифуркация склеивания отличается от гомоклинического взрыва, как по количеству новорожденных периодических орбит, так и в их стабильности. Взрыв генерирует, счетное множество периодических орбит. Каждая из них вместе взятых асимптотически неустойчива. Они образуют своего рода «скелет» для развивающегося хаотического аттрактора. В противоположность этому сценарию, бифуркация склеивания, производит только один или два стабильных периодических орбит [9, p. 14]. Тем не менее, в ходе последовательности («сценарии») таких бифуркаций форма притягивающихся орбит становится все более и более сложными, и его длина растет, развитие которых и заканчивается хаотическим аттрактором.

Какой из двух видов бифуркации: «гомоклинический взрыв» или бифуркация «склеивания» происходит в конкретной динамической системе, полностью определяется соотношением двух ведущих собственных значений матрицы Якоби в седловой точке.

В отличие от периодических орбит Фейгенбаума, седловые точки в типичных динамических системах являются структурно неустойчивыми. Кроме того, бифуркация «склеивания» предполагает сосуществование, двух гомоклинических траектории в окрестности точки седла, при одном и том же наборе значений параметров.

Формирование гомоклинических траектории в окрестности седла схемы Лоренца имеет коразмерность один, а явление бифуркации склеивания имеет коразмерность два. Следовательно, достижение сценария склеивания требует либо идеальную зеркальную (Z2) симметрию системы или способность отслеживать в пространстве параметров последовательности событий коразмерности два. Это делает бифуркацию «склеивания» трудным объектом в лабораторных исследованиях, так как они чувствительны внешним условиям. В большинстве случаев, сценарии склеивания в динамических системах были описаны в теоретических и численных исследованиях. Например, в контексте гидродинамики [62-63], в нематических жидких кристаллах [64,65] и оптотермических устройствах [66]. В экспериментах, бифуркация склеивания были выявлены в течении вязкой жидкости Тейлора-Куэтта между двумя цилиндрами [10, p.1-4] и в генераторе Чуа [11, p.3497-3508].

Рассмотрим теперь возможность экспериментальной установки, где наблюдается бифуркационные режимы склеивания. При выборе динамической системы, которая должна служить примером экспериментального моделирования электронной схемы, будет разумно минимизировать порядок и сложность системы. Уникальная бифуркация склеивания наблюдается на фазовой плоскости, но для возникновения последовательности такой бифуркации, фазовое пространство должно быть как минимум трехмерным. Они должны обладать требуемой симметрией и способностью проявлять гомоклинические бифуркации. В трехмерном пространстве параметров уравнений Лоренца, формирование двух симметричных гомоклинических орбит имеющих коразмерность один, происходит при двумерной поверхности. В фазовом пространстве гомоклиническая бифуркация является нелокальным событием. По этой причине значения параметров, при которых гомоклинические орбиты в диссипативных динамических системах формируются, как правило, не могут быть явно получены в замкнутой форме и должны быть найдены численно. Есть несколько аналитических методов, которые позволяют исключить наличие гомоклинических орбит или обеспечить границы для их существования в пространстве параметров [67-70]. Однако, мы не знаем о строгих теоретических результатах, которые позволили бы сделать вывод о расположении всей поверхности бифуркации в пространстве параметров системы уравнений Лоренца. Численные расчеты показывают, что двумерная поверхность гомоклинической бифуркации является частью пространства параметров, которая соответствует ν<1, следовательно, «каноническое» уравнение Лоренца не проявляет бифуркации склеивания. Чтобы обойти это препятствие, введем дополнение и рассмотрим уравнения

(2.1)

где σ, r и b являются обычными параметрами системы Лоренца, в то же время параметр V является добавленным нелинейным членом в первом уравнении. При V=0 уравнение (2.1) превращается в уравнения Лоренца. Система уравнений (2.1) напоминает модель [3, p.61], который рассматривает тепловую конвекцию в слое жидкости при воздействии высокочастотной модуляции силы тяжести. Зафиксируем традиционные значения параметров σ=10 и b= 8/3, и будем изменять остальные параметры R и V.

Среди свойств уравнений (2.1) мы перечислим только те, которые относятся к бифуркации склеивания и экспериментальному моделированию.

Уравнения (2.1) инвариантны относительно преобразования {х→-х, у→-у}. Точка x=y=z=0 является неподвижной точкой, которая является устойчивой в области R<1 и седлом с одномерным неустойчивым многообразием в диапазоне параметров R>1. При R=1 в начале координат происходит вилочная бифуркация; это бифуркации является суперкритической для V<σ и подкритической в остальных случаях. Как и в уравнении Лоренца, изменение параметров может производить пары структурной нестабильной гомоклинической орбиты в окрестности седловой точки. Эти орбиты покидают окрестность начала координат вдоль плоскости ху и возвращаются к нему по оси z, при σ=10, b=8/3, V=0 и это происходит при R=13,926. . . . Седловой индекс при этом определяется выражением

. (2.2)

Так как значение ν является независимым от V, изменение V позволяет изучить влияние дополнительной нелинейности под постоянным значением седлового индекса. Значение ν меньше 1 при R>Rν=(b+σ)(b+1)/σ и превышает 1 в противном случае. Численное интегрирование (мы используем рекуррентный алгоритм Тейлора 30-го порядка с переменным временным шагом) показывает, что увеличение V снижает критическое значение Rhom, необходимое для формирования пары гомоклинических орбит. Таким образом, при малых положительных значениях V, распад гомоклинических орбит следует от гомоклинического взрыва и сценарии перехода к хаосу Лоренца, в то время как достаточно при больших значениях V выполняется неравенство ν>1, так, что наблюдается последовательность бифуркации склеивания.

2.2 Описание экспериментальной установки

Внешний вид экспериментальной установки приведен на рисунке 2.1. Установка состоит из: электронной схемы бифуркации склеивания, платформы NI ELVIS II, персонального компьютера. Для работы с NI ELVIS II были установлены следующие программы: LabView 2010, NI – DAQmx, NI ELVIS II. Для решения системы дифференциальных уравнений (2.1) мы использовали электронную схему [54, p.6184-6186].

Все напряжения в цепи не должны превышать динамический диапазон операционных усилителей (от -15 до 15 В), поэтому зависимых и независимых переменных нужно уменьшить. Для этого мы перейдем к новым переменным

1-  печатная плата электронной схемы бифуркации склеивания, 2- платформа NI ELVIS II, 3- ПК для отображения данных

Рисунок 2.1 – Внешний вид экспериментальной установки для моделирования модифицированной системы Лоренца

u=x/5, v =y/5, w=z/10, τ =t/T, где T=100. Разность потенциалов u, v, w измеряется в вольтах. После преобразования новых переменных получим уравнение

(2.3)

где переменные дифференцируются по τ. Эти уравнения были реализованы в электронной схеме, которая показана на рисунке 2.2 и состоит из трех блоков (А, В, С). Каждый блок интегрирует уравнения (2.3) по отдельности.

Блок А показан на рисунке 2.3. Для того, чтобы учесть дополнительный нелинейный член в первом уравнений (2.3), мы ввели дополнительный аналоговый умножитель (умножитель Z3 на рисунке 2.2). Этот аналоговый умножитель умножает переменные и . Изменение параметра V осуществляется изменением сопротивления R6 и равно 10 деленное на значение R6. Значение параметра s равно 1000 деленное на значение R3. Блок А состоит из инвертирующего сумматора (на ОУ U1A) и интегратора (на ОУ U1B). Cумматор суммирует переменные и . Вычитание переменной в интеграторе осуществляется с помощью обратной связи (резистор R5 на рисунке 2.3).