Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 20 )

В качестве потенциометров были использованы подстроечные резисторы с большим количеством оборотов 3296W. Технические характеристики, этого потенциометра приведены в таблице 2.

В таблице 3 приведены технические характеристики и внешний вид термостойкого конденсатора.

Таблица 5- Основные характеристики и внешний вид умножителя AD633AN

Технические параметры	Значение	Внешний вид
Корпус	DIP-8
Напряжение питания	±18 В
Внутреннее рассеивание мощности	500 мВт
Полоса пропускания	До 1 МГц
Точность умножения	2%
Диапозон рабочих температур	-40…+85 о С

Рисунок 2.6 – SMD резисторы использованные в эксперименте

В качестве малошумящего операционного усилителя выбрали модель tl084сn фирмы ST Microelectronics, основные параметры которого приведены в таблице 4.

В качестве аналогового умножителя напряжений мы выбрали модель AD633AN фирмы Analog devices. Характеристики этого умножителя приведены в таблице 5.

2.4 Результаты экспериментального исследования бифуркаций склеивания

Начальные условия напряжения задавались в окрестности устойчивой точки. Для этого выходы интеграторов на короткое время подключались к заземлению. Напряжения были измерены и записаны с частотой 5000 кгц. При этом мы не применяли фильтрацию сигналов от шума. Стабильность схемы и достаточно малый интервал временного шага позволяет нам построить фазовый портрет с гладкой структурой непосредственно из экспериментальных данных.

Были измерены и записаны зависящие от времени напряжения в цепи для различных значений параметров V и R при фиксированном значении параметров σ=10, и b=8/3, как относительные значения резисторов. Также точка равновесия u=v=w=0 была устойчива при г<1 и неустойчива в диапазоне r>1. Измерения напряжения в цепи и численное интегрирование уравнения (2.1) оба подтверждают существование кривой Rhom (V), на котором гомоклинические орбиты формируются в окрестности седловой точки. Как в эксперименте и в численных исследованиях эти факты проявляются изменением в асимптотике больших t для траекторий с начальными условиями вблизи начала координат. До бифуркации, траектории которые начинаются с малых положительных значений u и v стремятся к аттрактору (к равновесному или к колебательному состоянию), которые появляются в полупространстве u>0. После бифуркации, эти траектории делают петлю в полупространстве u>0, пересекаются в противоположном полупространстве v<0 и оседают там на аттракторе.

При низких значениях V, формирование гомоклинических орбит происходит при ν <1, что соответствует сценарию перехода к хаосу Лоренца. Хаотический аттрактор, созданный после этого перехода гомоклиническим взрывом на Rhom(V) является неустойчивой, и ее присутствие отражается в существовании хаотических переходных процессов, которые предшествуют релаксации устойчивых равновесий («метастабильный хаос» [42, P. 263-275]). На плоскости параметров, соответствующий этому виду динамика ограничена сверху кривой Rch(V), который указывает стабилизации хаотического аттрактора и его появления. По этой кривой неустойчивое многообразие седловой точки попадает в устойчивое многообразие неустойчивых периодических орбит. Численно мы обнаружили, что последняя кривая, отслеживаемая сепаратрисами в окрестности седловой точки в экспериментах Rch(V) была определена как наименьшее значение R, в котором схема обладает незатухающей хаотической динамикой. Для значений R, которые находятся за

а) бифуркации на плоскости параметров. Сплошная линия гомоклинического взрыва Rhom и кресты (эксперимент). Пунктирная линия начала хаотического движения Rch и круги (эксперимент); б) проекция фазового портрета при V = 1.5, R = 3,6 (эксперимент)

Рисунок 2.7 - Динамика уравнения (2.1) при ν<1 с σ=10 и b= 8/3

пределами Rch(V) наблюдались нерегулярные колебания напряжения, с фазовым портретом, который сильно напоминает аттрактор Лоренца (рисунок 2.7).

Исходя из приведенных выше рассуждений, гомоклинический взрыв должен меняться на бифуркацию склеивания, когда соответствующие значение Rhom становится ниже значения Rν=209/45=4,6444…, что соответствует диапазону V≥4. Действительно, мы наблюдали в эксперименте подобный Лоренцу хаотические аттракторы при V<4 и бифуркацию склеивания при V> 4.

Проиллюстрируем преобразование фазового портрета сценария бифуркации склеивания, которые соответствуют увеличению параметра V при постоянных значениях других параметров.

а) V=6.4, b) V = 6.55, две устойчивые периодические орбиты. с) V=7.0; формирование двух гомоклинических петель. d) V=7.05; стабильная двух петельная симметричная орбита

Рисунок 2.8 - Бифуркация склеивания в цепи. Значения параметров: σ=10, b=8/3, r=3,6

Варьируя начальные условия, мы можем определить в фазовом пространстве цепи две притягивающих замкнутых траектории, которые почти симметричны друг другу (рисунок 2.8 а)). В качестве параметра. Как только параметр V увеличивается, эти две орбиты становятся ближе друг к другу

(рисунок 2.8 b)), при приближении к инвариантному многообразию в окрестности седла равновесия на начальную координату и формируется пара симметричных гомоклинических траекторий в окрестности седла (рисунок 2.8 с)). При дальнейшем увеличении параметра V гомоклинические орбиты распадаются и исчезают. Вместо этого появляется единственный аттрактор системы, показанный на рисунке 2.8 d) и он является периодической орбитой с двумя петлями, который является инвариантной относительно преобразования симметрии {u→-u, v→-v}.

Известно, что вблизи гомоклинической бифуркации, измеренные значения периодических колебаний T0 отдельных независимых петель изменяется по логарифмическому закону ~.

Как видно из рисунка 2.9, колебания сильно ангармонические и большая часть времени периода проводится почти в неподвижной точке. Это соответствует длинной траектории замирания в окрестности седловой точки.

Этапы эволюции траектории склеивания при дальнейшем увеличении параметра V приведен на рисунке 2.10. Симметричный предельный цикл с двумя оборотами (рисунок 2.8 d)) теряет свою устойчивость в результате вилочной бифуркации. Один из двух результирующий стабильный асимметричный предельный цикл показан на рисунке 2.10 ).

а) V = 7,0; колебания предельных циклов с одной петлей до бифуркации. b) V = 7,05; колебания предельного цикла с двумя петлями

Рисунок 2.9 - Временные реализации близкие к бифуркации склеивания

Как только параметр еще более увеличивается, эти две предельные циклы подходят к равновесию инвариантного многообразия и вторичная бифуркация склеивания формирует две гомоклинические орбиты с двумя оборотами. Их последующий распад производит одну симметричную устойчивую орбиту с четырьмя оборотами (рисунок 2.10 b)). Кроме того, эти события повторяются на новом уровне, симметричные орбиты с четырьмя оборотами дестабилизируется, и рождается две устойчивые асимметричные орбиты (рисунок 2.10 с)). Эти асимметричные периодические орбиты сливаются в следующей бифуркации склеивания и образуют пару гомоклинических траекторий с четырьмя оборотами и становятся устойчивой периодической орбитой с восьмью оборотами, показанной на рисунке 2.10 d). Таким образом, симметричные последовательности бифуркации склеивания будет продолжаться, и каждый раз удваивая числа оборотов притягивающихся периодических орбит в фазовом пространстве [44, p.198-200]. Наличие асимметрии, как известно, исключает полную последовательность «удвоения» гомоклинических траектории [71-72].

a) V=8,05; асимметричная устойчивая периодическая орбита с двумя оборотами. b) V= 8,10; симметричная стабильная периодическая орбита с четырмя оборотами. c) V=9,37; асимметричная устойчивая периодическая орбита с четырмя оборотами. d) V= 9,38; симметричная устойчивая периодическая орбита с восьмью оборотами

Рисунок 2.10 - Дальнейшие этапы сценария бифуркации склеивания (параметры: σ = 10, b= 8/3, r=3.6)

Математически это доказывается из факта, что линеаризация соответствующего оператора перенормировки вблизи ее неподвижной точки

обладает дополнительным неустойчивым направлением. Ограничения разрешения наших измерений (ограниченный размер шага для переменного

а), b) хаотический аттрактор при V = 9,39. с), d) предельный цикл с пятью оборотами при V=10,17. e), f) хаотический аттрактор при V=13,46. g), h) бифуркация склеивания усредненная гомоклиническими орбитами с тремя оборотами при V=11,51. Другие параметры динамической системы: σ = 10, b = 8/3, r = 3,6

Рисунок 2.11 - Экспериментальные записи динамики за пределами первой последовательности склеивания