Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 22 )

где степень однородности. В пределе мы получим обычную экспоненту. По смыслу введения

~, (3.8)

где число частиц замкнутой системы, число частиц подсистемы. Полнота статистики, соответствующая каноническому распределению Гиббса равновесного состояния достигается при . Отличие от единицы параметра характеризует степень статистической неравновесности, неоднородности системы.

Определим полную энтропию с учетом степени однородности. Примем в качестве переменных одномерную и условную вероятности . Согласно формуле (3.7) имеем

. (3.9)

Представляя левую часть как « логарифм» от произведения, получим

. (3.10)

Из формулы (3.10) следует выражение для неаддитивной «энтропии»:

. (3.11)

В пределе мы имеем аддитивную энтропию .

Согласно определению по формуле (3.8) его можно определить из экспериментальных данных. Для описания неоднородности геометрических объектов введем малый параметр :

(3.12)

где общее число точек (отсчетов), число ячеек с масштабом измерения , в которых имеется хотя бы одна точка, среднее число точек в ячейке. Если для сильно неоднородных объектов окажется , то нужно пользоваться выражением 1-q.

Для простоты мы далее будем пользоваться выражением вместо , при необходимости выбирая положительный знак и условие нормировки искомой физической величины.

Используя выражение (3.7) мы определим зависимость от информационной энтропии – единственной меры сложности, неопределенности неравновесной системы. Для квазиравновесного процесса, характеризуемого параметром , информацию определим в виде

. (3.13)

Отсюда представим вероятность как функцию от информации:

. (3.14)

Функция плотности распределения вероятности реализации информации определяется как

. (3.15)

Энтропия определяется как среднее значение информации:

. (3.16)

Самоподобные значения и найдем как неподвижные точки отображений

(3.17)

(3.18)

.

Таким образом, значение может характеризовать отклонение системы от состояния самоподобия и самоаффинности через значения информации и информационной энтропии. В мультифрактальном анализе некоторый параметр задается в интервале , однако его физический смысл остается неясным. Однако мы отметим, что при условии

, (3.19)

Рисунок 3.1 - Эволюция информационной – энтропии. . SΔ – максимальная энтропия множества

энтропия Цаллиса, определяемая формулой (3.7), совпадает с энтропией Реньи:

(3.20)

Универсальные энтропийные закономерности эволюции открытых систем к режимам самоподобия и самоаффинности согласно формулам (3.17), (3.18), (3.2) представлены на рисунке 3.1, где принято . В этих формулах энтропия нормирована на единицу. Диаграмма, показанная на рисунке 3.1 учитывает изменение степени однородности q.

3.3  Отображение фрактальной эволюции меры

Рассмотрим эволюцию по времени x(t) - модуля некоторой функции, связанной с фрактальной мерой (аддитивной величиной, характеризующейся измеримым множеством), в виде

, (3.21)

где - статистическая характеристика множества значений t, она введена с целью обеспечения условия Лифшица – Гельдера для ограничения производной . Модуль приращения относительной (масштаб измерения величины x(t)) заменим из условия фрактальности меры :

, , , (3.22)

где нефрактальная регулярная мера, - фрактальная размерность множества значений , d- топологическая размерность носителя меры. Подставив формулу (3.22) в формулу (1) перейдем к дискретным разностям. Обозначим дискретную форму знаковой функции через .В силу того, что всегда знаковая функция sign() зависит только от . Ее изменение по дискретной переменной i определим в виде

, (3.23)

записанном в неподвижной точке. Обычно значения используются для линейного описания эволюции возмущения. Мы определим через и не ставим ограничения на модуль этой величины.

С учетом формул (3.22), (3.23) формулу (3.21) для случая запишем в виде