Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 25 )

Рисунок 3.13 - Бифуркационная диаграмма отображения «накопление выброс» при с=2,806

Бифуркационная диаграмма, полученная по формулам (3.28), (3.29) и показанная на рисунке 3.13 описывает реализации с перемежаемой структурой.

В области периодических колебаний эволюционный параметр порядка имеет самое наименьшее значение. Максимальное его значение соответствует колебаниям взрывного характера (рисунок 3.14).

Рисунок 3.14 - Зависимость эволюционного параметра порядка от γ при с=2,806

Рисунок 3.15 - Увеличенный фрагмент рисунка 3.13

В области периодических колебаний отчетливо видны типичные удвоения периода, т. е. сценарии перехода Фейгенбаума (рисунок 3.15). При этом также

Рисунок 3.16 - Бифуркационная диаграмма отображения перемежаемости построенная по эволюционному параметру порядка при q=2+DС; p=q/(q-1); с=2,806, γ=3.5:0.01:5,

Рисунок 3.17 - Гомоклиническая бифуркация уравнения (2.1) при , , V= 10,5:0,01:18

наблюдается восстановление порядка после возникновения хаоса. Присутствуют узкие интервалы порядка, которые по структуре идентичны с широкими интервалами области порядка. Если увеличить амплитуду мелкомасштабных колебаний, то картина не меняет структуру. Это показывает, что реализация имеет фрактальную структуру.

Бифуркационная диаграмма (рисунок 3.16) построенная по с учетом фрактальности множества (через ) имеет различие от рисунков 3.13 и 3.15.

Все устойчивые режимы локализованы в левой части бифуркационной диаграммы. Хаотическим структурам соответствуют высокие значения .

Теперь бифуркационная картина становится более простой: качественно различные режимы сгруппируются. Видны типичные картины удвоения периода по Фейгенбауму (цикл ). Некоторые ветви наклонных линий бифуркации удвоения не реализованы, процесс имеет асимметрию.

Меняя параметр с при постоянном значении γ мы получим аналогичную бифуркационную картину.

Мы применим наш новый метод построения бифуркационной диаграммы через эволюционный параметр порядка к исследованию особого типа гомоклинической бифуркации (бифуркации «склеивания» или «gluing bifurcation»). Для этой цели воспользуемся системой дифференциальных уравнений (2.1).

Выбирая в качестве управляющего параметра V уравнения (2.1) была построена бифуркационная диаграмма (рисунок 3.17). Видно, что есть точки «склеивания», которые являются также устойчивыми точками вблизи х=0. При этом, верхние и нижние бифуркационные диаграммы соответствуют сценарию перехода Фейгенбаума.

На рисунке 3.18 приведена бифуркационная диаграмма системы (2.1) по нашему методу Основное отличие рисунка 3.18 от рисунка 3.17 в том, что

Рисунок 3.18 - Гомоклиническая бифуркация в координатах (Xmax, Xmin, K) при q=2+DC; p=q/(q-1); , , , V= 10,5: 0,01: 18,

а) и b) V=10.6; с) и d) V=10.7; e) и f) V=13; g) и h) V=25

Рисунок 3.19 - Временные реализации и фазовые портреты гомоклинической бифуркации при R=3; σ=10; b=2.67

a) и b) при с=2,806; γ=4.59; с) и d) при с=2,806; γ=4.65; e) и f) при с=2,806; γ=4.69; g) и h) при с=2,806; γ=4.74

Рисунок 3.20 - Реализации и фазовые портреты отображения (3.28), (3.29)

значения отсутствуют в некоторых полосах, так как согласно рисунку 3.14 зависимость (γ) является скачкообразным. В результате режимы бифуркации «склеивания» наблюдаются в виде точек х=0.

Реализации и фазовые портреты гомоклинической бифуркации, полученные на основе уравнения (2.1) показаны на рисунке 3.19.

Сначала появляется одна периодическая орбита (рисунок 3.19 а) и b)), затем при росте управляющего параметра наблюдается гомоклиническая периодическая орбита (рисунок 3.19 с) и d)). После удвоения периода гомоклинической периодической орбиты (рисунок 3.19 е) и f)) динамическая система переходит к хаосу (рисунок 3.19 g) и h)).

Гомоклиническая бифуркация «склеивания» наблюдается и в взрывных колебаниях. Это можно наблюдать по реализациям и фазовым портретам уравнения отображения ((3.28), (3.29)), показанным на рисунке 3.20. Видны типичные картины циклов S2, S4 и переход к хаосу. Но при удвоении рождается склеивающийся с большим циклом маленький цикл. При переходе к учетверению периода каждый большой и малый цикл удваивается.

Гомоклиническая бифуркация теряет свой симметричный режим если видоизменить уравнение (2.1), то есть добавить в третье уравнение d*x. Тогда уравнение (2.1) имеет вид:

, (3.35)

Рисунок 3.21 - Временная реализация и фазовый портрет уравнения (3.35) при R=3; σ=10; b=2.67; V=11.5 d=0.1

На рисунке 3.21 показаны реализация и фазовый портрет системы (3.35). В левой части фазовой траектории наблюдается удвоение периода, в то время, как в правой части остается только один цикл. Ассимметричный режим наблюдается и в отображении (3.28), (3.29) (рисунок 3.22). Малый цикл переходит к удвоению периода, в то время как большой цикл, «склеивающийся» к этому, имеет один цикл.

Если увеличить часть фазового портрета на рисунке 3.22, то можно увидеть «склеивание» с большим циклом двух малых циклов (рисунок 3.23). Приведенный анализ приводит к важному выводу: «склеивание» наблюдается и для колебаний типа «накопление - выброс».