Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 12 )

При дальнейшем увеличении убывает и при обращается в нуль: L- циклы ложатся на сепаратрисы, образуя пару однооборотных гомоклинических петель. В результате разрушения этих петель с переходом к образуется устойчивый симметричный цикл типа 10. По достижении этот цикл теряет устойчивость, и от него мягко отходит пара несимметричных устойчивых циклов того же типа. Потерявший устойчивость симметричный цикл существует и выше при всех , в то время, как ответвившиеся от него циклы на линии

(1.50)

ложатся на сепаратрисы и , образуя петли 10 и 01, соответственно. Разрушение этой пары петель приводит к рождению симметричного устойчивого цикла типа 1001. На рисунке 1.15 изображены вид отображения, а также его второй и чётвертой степеней для различных значений .

Рисунок 1.15 соответствует области ; рисунок 1.15 – линии . На рисунке 1.15 - 1.15 изображён квадрат отображения (1.39); при этом рисунке 1.15 относится к области , в которой существует единственный двухоборотный цикл, рисунке 1.15 соответствует области , в которой сосуществуют симметричный неустойчивый и пара несимметричных устойчивых циклов, а на рисунке 1.15 можно увидеть образование двух гомоклинических пеи 01.

Рисунок 1.14 - График отображения (1.39) при отрицательной седловой величине

Рисунок 1.15 - Преобразования отображения с ростом при отрицательных

На рисунке 1.15 изображён график четвёртой степени отображения после перехода через линию ; в этой области существует симметричный устойчивый четырёхоборотный цикл. Обращает на себя внимание сходство центральных частей графиков самого отображения и его высших степеней, взятых при больших значениях . Это позволяет предположить, что описанные выше бифуркации будут в некотором смысле повторяться для соответственно возрастающих степеней отображения при увеличении .

Оказывается, наличие пары значений параметров и , соответствующих существование петель типа 1(0) и 100 (011) является достаточным условием существования в интервале [ ,] бесконечной

последовательности значений , , , при которых имеется пара n – оборотных гомоклинических петель. Это можно показать в рамках следующей схемы. Пусть при существуют петля, задаваемая двоичной последовательностью S и симметричная ей петля, кодируемая как (далее существование петель, симметричных к упоминаемым, особо оговариваться не будет), где знаком * обозначена описанная выше операция двоичной инверсии, а при существует петля, которой соответствует кодировка (т. е., например, при ), причём все петли при увеличении разрушаются наружу. Тогда найдётся такое , что при сепаратриса будет кодироваться последовательностью, начальный участок которой имеет вид …, а при - последовательностью, начинающейся с … . Следовательно, между и должно лежать значение , при котором существует гомоклиническая петля типа .

При разрушении этой петли наружу в малой окрестности этого значения сепаратриса имеет кодировку … . Значит, между и лежит значение , соответствующее гомоклинической петле . В свою очередь, при , достаточно мало превосходящем , кодировка сепаратрисы начинается с … . Теперь видно, что между и лежит значение , соответствующее петле . После разрушения этой петли вовнутрь, вызванного уменьшением от , сепаратриса определяется последовательностью … . А отсюда непосредственно следует существование между и значения , при котором имеется гомоклиническая петля типа . Таким образом, показано, что из факта существования гомоклинических петель и следует существование при неких промежуточных значечиях параметров соответственно вдвое более длинных петель (при ) и (при ). Обозначив через и заметив, что , мы можем повторить проведённые рассуждения и показать существование в промежутке (,) петель, уже вчетверо более длинных, чем исходные, - и так далее, по индукции.