Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 21 )

сопротивления R17 на рисунке 2.2) также неизбежная асимметрия в электронной схеме не позволяет нам решить дальнейшие этапы процесса склеивания. Вместо этого мы наблюдаем быстрое появление хаотического аттрактора (верхний ряд на рисунке 2.11).

Характерная особенность хаотических колебаний в этой схеме, хорошо распознается в осциллограммах рисунков 2.11 a), e).

Как видно, из рисунков 2.11 a), e), траектория находится достаточно долго в окрестности неподвижной точки. При дальнейшем увеличении параметра V видно, что диапазон, в котором колебания хаотичны, наблюдается

многочисленные окна в которых имеется различные стабильные симметричные и асимметричные периодические колебания. Один из таких периодических состояний показан на рисунках 2.11 с), d). Периодические окна ограничены сверху вторичными гомоклиническими бифуркациями и служит в качестве исходного состояния дальнейшего склеивания сценариев. Пример бифуркации, в которой две периодические режимы с тремя склеиваниями и создание периодической орбиты с шестью оборотами показаны на рисунке 2.11 g), h). Следует отметить, что увеличение сопротивления R17 повышает асимметрию в цепи. Таким образом, формируются гомоклинические траектории, соответственно «левые» и «правые» компоненты неустойчивого многообразия происходят немного в разных значениях параметра V.

Мы показали, что в эксперименте аналоговой электронной схемы сценарии перехода к хаосу Лоренца, наблюдаются начальные стадий последовательности бифуркации склеивания. Схема решает модифицированную систему дифференциальных уравнений Лоренца. Также изменяя одного из сопротивления можно перемещаться по пространстве параметров без изменения значения седлового индекса.

Наблюдаемая последовательность преобразований фазовых портретов обеспечивает однозначное качественное подтверждение теоретических предсказаний. Для количественного сравнения (скорость сходимости сценария бифуркации и другие константы масштабирования) экспериментальное разрешение, в частности, размер шага активного параметра должно быть улучшено. В более широком контексте, следует отметить, что для динамических систем с бифуркацией склеивания при простой процедуре кодирования отображения, временная эволюция напряжения на двоичном алфавите, символ 1 присваивается каждому, свою очередь, орбитам в полупространстве U> 0, а символ 0 полупространстве U <0. В этом смысле пара двоичных кодов, которые соответствуют к двум компонентам неустойчивого многообразия седла, обеспечивает полную характеристику динамики [60, p.1886-1898]. В присутствии симметрии, достаточно одного кода. Это связано с разрушенной последовательностью семейства логистических отображений. В случае заметной асимметрии, как разрушение последовательности необходимы некоторые аспекты, описание которых аналогичны для (в общем случае разрывная) отображения окружности, числу вращения, чертовому лестницу и т. д. [58,p.304-314]. Так как наши экспериментальные результаты подтверждают теоретическое описание маршрута к хаосу для симметричных систем, можно надеяться, что явного введения контролируемой асимметрии в уравнении (2.3) и в аналоговой схеме на рисунке 2.2, позволяют обнаруживать в цепи и те сценарии, которые предсказывает теорию асимметричной бифуркации склеивания.

3  Новые нелинейные методы анализа бифуркационных явлений

3.1  Эволюционный параметр порядка сильно неоднородных хаотических сигналов

Существование метрических характеристик (длины, площади, объема) следует из выполнения известного интегрального неравенства Гельдера для любых функций , записанного в вид

, (3.1)

где - коэффициент, при постоянном значении которого выполняется равенство в (3.1). Используя усреднение как по времени, так и по ансамблю, при

(3.2)

мы получим минимальное значение меры сложности (неоднородности) выражения в правой части для двух произвольных функций. Выражение (3.2) называется обобщенно – метрической характеристикой, согласно работе [73], где впервые была введена эта характеристика хаоса. Формула (3.2) отличается от обратного коэффициента нецентрированной автокорреляции: усредняется модуль произведения функций, учитывается возможность .

В физических приложениях можно пользоваться усреднением по времени . В случае искомая характеристика определяется евклидовой метрикой. Если , , , то мы получим - коэффициент формы сигнала, который используется в радиофизике.

Рассмотрим вопрос о возможности использования формулы (3.2) для хаотических сигналов типа «накопление - выброс», которые являются сильно неоднородными и ассиметрично перемежаемыми.

Перемежаемые функции являются сильно неоднородными относительно друг друга () и относительно аргумента (). В терминах теории подобия, масштабной инвариантности перемежаемые сигналы не являются подобными, а афинными: не обладают свойством самоподобия, а могут быть самоаффинными. Чтобы учесть такую неравновесность в силу произвольности функций , в формуле (3.2) мы можем выбрать одну из них в качестве аргумента. Если нас интересует эволюция по времени , то можно выбрать Тогда выражение (3.2) имеет вид

. (3.3)

Выражение (3.3) назовем эволюционным параметром порядка. Этот параметр имеет смысл безразмерного времени и является пропорциональным номеру шага дискретных отображений динамических систем. Если принять , в (3.2), то можно увеличить разрешающую способность обобщенно – метрической характеристики, так как важной количественной характеристикой аттрактора, несущей информацию о степени сложности поведения динамической системы, является корреляционная размерность DС. Алгоритм расчета DС основан на вычислении корреляционного интеграла, в качестве которого выступает функция C(δ), для каждого δ равная нормированному числу пар точек рассматриваемого объекта, расстояние между которыми не превосходит δ:

, (3.4)

где– функция Хевисайда для всех пар значений i и j, если i≠j, –абсолютная величина расстояния между точками множества, i, j = 1,2,3,...,n, где n – количество точек. Величина суммы зависит от δ, причем, если эта зависимость имеет степенной вид

, (3.5)

то исследуемое множество фрактально. Для практического вычисления размерности на графике ln(C(δ))=f(ln(δ)) выделяют область линейной зависимости (области скейлинга) и функция аппроксимируется прямой линией методом наименьших квадратов. Тогда тангенс угла наклона графика является размерностью DС.

3.2  Информационная энтропия двумерных объектов с учетом степени однородности

В физике открытых систем важными являются вопросы, связанные с определением режимов самоподобия и самоаффинности. Если число определяющих переменных больше единицы и коэффициенты подобия по этим переменным различные, то фрактальный объект называется самоаффинным. Если иерархические части фрактального объекта имеют одинаковые коэффициенты подобия по всем переменным, то объект называется самоподобным. Ранее [23, с.16] были установлены информационно – энтропийные критерии самоаффинности () и самоподобия () в виде неподвижных точек плотности вероятности реализации информации и энтропии:

, ; , . (3.6)

В последние годы развивается новая обобщенная статистическая механика, которую можно назвать статистикой Цаллиса, или, квазиканонической статистикой Гиббса [23, с. 17]. В основе таких теорий лежит использование экспоненциальной функции вида

, (3.7)