Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 17 )

Рисунок 1.24 – Эксперимент с конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной ячейке

В нелинейном RCL – осцилляторе также наблюдается перемежаемость. Существование перемежаемости 1- го рода показано на рисунке 1.23 с помощью отображения Пуанкаре, скейлинга длин стационарных областей и положения максимума P(l) при l>0.

Перемежаемость 3- го рода впервые наблюдалась в эксперименте с конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной ячейке [49]. В эксперименте изменялся горизонтальный градиент температуры по модуляции интенсивности светового пучка, проходящего через ячейку.

На рисунке 1.24, а) показана осциллограмма, характерная для перемежаемости 3-го рода. Перемежаемость появляется одновременно с удвоением периода; амплитуда субгармоники растет, а амплитуда основной частоты уменьшается. Когда амплитуда субгармоники становится большой, сигнал теряет регулярность и возникают хаотические всплески.

Если построить последовательности максимумов субгармоники (четные n, отмечены крестиками) и основной моды (нечетные n, квадратики), то получается отображение Пуанкаре, показанное на рисунке 1.24, . Его форма описывается выражением

(1.65)

где - постоянная, ~ () – мера надкритичности по числу Рэлея , соответствующему порогу возникновения перемежаемости.

а) квазипериодическая область с двумя несоизмеримыми частотами и ; б) трехчастотная периодичность, т. е. одновременно с самопроизвольным экспоненциально спадающим шумом в спектре присутствуют , и

Рисунок 1.25 - Зависимость логарифма спектра мощности (локальной температуры) в эксперименте Бенара с ртутью в магнитном поле

Уравнение (1.65) можно получить из отображения

(1.66)

где Его собственное значение

(1.67)

пересекает единичную окружность в точке -1, что указывает на перемежаемость 3- го рода.

Переход от квазипериодичности к хаосу наблюдался в эксперименте Бенара с ртутью в магнитном поле (рисунок 1.25) [50] и в эксперименте с сегнетоэлектриком – кристаллом НБН (ниобат бария - натрия) (рисунок 1.26) [51].

В эксперименте Бенара горизонтальное поле служит вторым управляющим параметром и эффективно увеличивает вязкость электропроводной жидкости.

Рисунок 1.26 - Спектр мощности напряжения поперек кристалла НБН с постоянным током. При понижении температуры наблюдается переход «одна – две – три основные частоты - хаос»

Во втором случае кристалл помещен в печь, в которой поддерживается постоянный поток увлажненного кислорода (проводимость частично обеспечивается кислородными вакансиями). Вдоль с - оси образца прикладывается стабилизированный постоянный ток и регистрируется напряжение поперек кристалла и интерференционная картина двойного лучепреломления. С ростом напряжения на катоде возникают «домены» и постепенно расходятся по кристаллу. Так как здесь три управляющих параметра (температура, плотность тока и поток кислорода), кристалл НБН, имеющий нелинейную вольт – амперную характеристику, представляет собой интересную систему для экспериментального исследования хаоса.

2 Последовательности склеивания бифуркаций в аналоговой электронной схеме

2.1 основные свойства гомоклинической бифуркаций, которые наблюдаются в эксперименте

Исследование перехода от порядка к хаосу в динамических системах обычно начинают с теоретических и численных исследований, которые после изучаются подробными экспериментальными исследованиями. Универсальная последовательность бифуркации удвоения периода, возникновения хаоса через распад квазипериодических колебаний, а также законы подобия в различных видах перемежаемости были зарегистрированы в многочисленных механических, гидродинамических, оптических, химических и т. д., экспериментах [52-53].

В этой главе рассматривается экспериментальное исследование склеивания «gluing» бифуркации в аналоговой электронной схеме модели динамической системы третьего порядка: уравнения Лоренца с дополнительной квадратичной нелинейностью. Изменение одного из сопротивления в цепи изменяет коэффициент нелинейности, и переход от порядка к хаосу в системе Лоренца происходит по особому сценарию, через последовательности гомоклинических бифуркации, начиная с периодической, и заканчивая нерегулярными колебаниями напряжения цепи. Каждая независимая периодическая траектория бифуркации «склеивается» в фазовом пространстве и создает новые, с удвоенной длиной. Далее последовательность этих бифуркации приводит к рождению хаотического аттрактора.

Существует рассматриваемый особый вид сценарий перехода к хаосу, который довольно хорошо исследован теоретически, но уделено меньше внимания экспериментальным исследованиям. Это переход к хаосу через последовательность, так называемое, «склеивание» бифуркации. В таком переходе к хаосу, пара устойчивых периодических орбит приближается в фазовом пространстве к устойчивой точке, сливаются и образуют новую форму устойчивых периодических орбит, которые являются более сложными, чем предыдущие.

Мы перечислим основные свойства гомоклинической бифуркации, которые могут наблюдаться в экспериментальных реализациях.

Сначала рассмотрим электронную схему гомоклинической бифуркации с помощью которых авторы [54] воспроизвели динамику системы уравнений Лоренца [6, p.135].

В фазовом пространстве электронной схемы Лоренца, основным ингредиентом бифуркации «склеивания» является равновесие типа седла с одномерным неустойчивым многообразием. Мы будем исходить из ситуации, когда система уравнения Лоренца, обладает симметрией и две компоненты этого многообразия преобразуются друг в друга. Когда параметры динамической системы меняются, расположение инвариантного многообразия в фазовом пространстве также меняются. В определенной комбинации параметров динамической системы, один из компонентов неустойчивого многообразия может вернуться обратно в седло вдоль устойчивого многообразия и образовать гомоклиническую орбиту. Из свойств симметрии второй компонент также возвращается, поэтому гомоклинические орбиты рождаются парами. Последовательность событий (сценариев), которые сопровождаются рождением или уничтожением гомоклинической орбиты, зависит от главных собственных значений линеаризованного уравнения в седловой точке. Так как неустойчивое многообразие одномерно, есть только одно положительное собственное значение, обозначается как λ+. Далее мы ограничимся на случай, когда ближе всего к нулю, отрицательное собственное значение λ -, который является реальным. «Седловой индекс» ν = | λ -| λ+ указывает, какие из двух свойств, сжимание или расширение, доминирует в фазовом пространстве в окрестности фиксированной точки, тем самым, регулирует на устойчивость бифуркационных решений.

В эксперименте можно варьировать седловой индекс с помощью переменного резистора. Рассмотрим, как влияет на динамику изменение седлового индекса. При отсутствии симметрии, разрушение одной гомоклинической траектории создает единственную периодическую орбиту, которая является устойчивым, если ν>1 и неустойчивым в противоположном случае [55]. Наличие второй симметричной гомоклинической траектории составляет динамика: всех траекторий, которые покидают вблизи седла, закачивается обратно в седловой точке. В этом случае, при ν<1 рождается счетное множество неустойчивых периодических орбит, а также континуум рекуррентных траекторий одновременно рождаются от пары гомоклинических орбит [8, с. 336-339], это является важным шагом в формировании аттрактора Лоренца. Ситуация при ν>1 проще, здесь две устойчивые периодические орбиты подходят к седлу, и «склеиваются» формируя две гомоклинические орбиты. Когда пара гомоклинических траекторий распадается, новая стабильная симметричная периодическая орбита остается в фазовом пространстве, она получается путем объединения ранее существующих. Длина и количество циклов (оборотов) притягивающих траектории в фазовом пространстве удваивается, как в случае бифуркации удвоения периода. Следует отметить, что в отличие от бифуркации удвоения периода временной период неограниченно растет, т. е. период становится бесконечным, когда гомоклинические траектории формируются. Дальнейшее изменение параметра может привести к последовательности вторичной бифуркации склеивания, неустойчивое многообразие может вернуться в седло после выполнения нескольких поворотов в фазовом пространстве. До этого, бифуркация, которая нарушает симметрию, имеет место в новорожденных симметричных периодических орбитах, которые теряют устойчивость в ходе вилочной бифуркации, и две взаимно симметричные орбиты происходят от нее. Эти две орбиты достигают неустойчивого многообразия седла и сливаются в следующую бифуркацию склеивания. Как следует, новые устойчивые периодические орбиты рождается, которые имеют четыре раза больше петель, чем предыдущие. Дальше сценарий состоит из чередующихся склеивания и нарушения симметрии бифуркации, что в конечном итоге заканчивается формированием хаотического аттрактора, который имеет форму двух лепестков аттрактора Лоренца.