Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 24 )

Рисунок 3.3. фазовый портрет , спектр мощности реализации, показанной на рисунке 3.2

1. Система дифференциальных уравнений Лоренца (1.56).

2. Система Ресслера

, , . (3.30)

3. Генератор Анищенко – Астахова

, , . (3.31)

, б)

Рисунок 3.4 - Бифуркационные диаграммы отображения перемежаемости

4. Система уравнений цепи Чуа

, , ,

. (3.32)

5. Генератор динамического хаоса с фазовым управлением

, , ,

. (3.33)

Вывод системы уравнений (3.33) приведен в работе [26, с. 1955]. Параметры m, g по смыслу совпадают с такими же параметрами в системе уравнений Анищенко – Астахова. Дополнительно учтем ток через нелинейный преобразователь параметром .

Рисунок 3.5 - База и эволюционный параметр порядка сигналов динамических систем: (*) Лоренца (, , а ), (+) Цепи Чуа (, ,,), (∆) Ресслера ( и ), (о) Анищенко-Астахова (, ), (x) генератора динамического хаоса с фазовым управлением ( g=1.5, A=0.95, , )

Генератор динамического хаоса с фазовым управлением имеет наибольшие значения эволюционного параметра порядка (рисунок 3.5), хотя база сигналов относительно мала.

Рисунок 3.6- Взаимозависимость корреляционных и эволюционных характеристик.

Рисунок 3.7- Взаимосвязь дисперсии с эволюционным параметром порядка

Рисунок 3.8- Бифуркационная диаграмма логистического отображения при r=2.5:0.01:4

Рисунок 3.9 - Бифуркационная диаграмма логистического отображения, построенная по эволюционному параметру порядка при q=2+DС; p=q/(q-1); r=2.5:0.01:4,

Корреляции и дисперсия сигнала также не учитывают информацию о фазе, форме колебаний, т. е. они являются менее информативными, чем эволюционный параметр порядка. Этот вывод мы проверили на разных хаотических сигналах. На рисунках 3.6, 3.7 представлены результаты обработки сигналов генератора динамического хаоса с фазовым управлением [27, с. 134].

Отсюда следует, что для описания сложных сигналов необходимо использовать наряду с базой и эволюционный параметр порядка.

Теперь применим этот метод, но эволюционный параметр будем определять через фрактальную размерность. Этот параметр имеет наиболее

высокую разрешающую способность, что было показано ранее исследованием моделей различных динамических систем: логистическое отображение, отображение Хенона, отображение накопления – выброса и система дифференциальных уравнений гомоклинической бифуркации.

Бифуркационная диаграмма отображения Фейгенбаума, построенная по формуле (1.2) приведена на рисунке 3.8. При изменении параметра r отображение Фейгенбаума соответствующая система меняет свои режимы эволюции с каскадом удвоений периодов, приводящих к хаосу.

Используя реализации (1.2) для различных значений r мы построили бифуркационную диаграмму через эволюционный параметр порядка определенный по формуле (3.2) при q=2+DС. В результате мы получили бифуркационную диаграмму, показанную на рисунке 3.9.

Рисунок 3.10 - Нелинейная зависимость параметра порядка от параметра r уравнения (1.2), r=2.5:0.001:4

Из рисунка 3.9 отчетливо видны циклы удвоения периода и переход к хаосу. При этом все периодические реализации собираются в левой части, а хаотические в правой части бифуркационной диаграммы. Появляется возможность классификации разных бифуркаций в динамических системах с неизвестными параметрами.

Эволюционный параметр порядка является одним из показателей сложности сигнала. Это видно из зависимости параметра порядка от параметра r, показанной на рисунке 3.10.

Наш метод использования эволюционного параметра порядка применим также к формуле отображения Хенона:

, . (3.34)

Рисунок 3.11 - Бифуркационная диаграмма отображения Хенона при а=0.15:0.01:1.3, b=0.1

Рисунок 3.12 - Бифуркационные режимы отображения Хенона построенная по эволюционному параметру порядка при q=2+DС; p=q/(q-1); а=0.15:0.01:1.3, b=0.1,

Отображение Хенона также демонстрирует переход к хаотическому поведению через последовательность бифуркаций удвоения периода, как логистическое отображение. Из уравнения (3.34) при меняя параметр a получаем бифуркационную диаграмму (рисунок 3.11).

При вариации параметра a в системе (3.34) может наблюдаться явление мультистабильности, т. е. сосуществование двух и более различных динамических режимов, например, хаотического аттрактора и цикла периода n или 2-х различных по структуре хаотических множеств.

Бифуркационная диаграмма на рисунке 3.12, построенная по новому методу, содержит все режимы бифуркационной диаграммы, полученной через известный параметр а (рисунок 3.11). Но наглядно видно преимущество предлагаемого нашего метода. При некоторых значениях отсутствуют значения X(i+1). Это означает, что отсутствуют некоторые бифуркационные циклы из возможного набора S1 (предельный цикл), S2 (бифуркация удвоения периода), S3 (бифуркация утроения периода) и их образований.

Этот метод позволяет исследовать и более сложные бифуркационные явления. Бифуркационные режимы хаотических и ассимметрично перемежаемых процессов отличается от известных вышеперечисленных моделей. Для этой цели построена бифуркационная диаграмма отображения (3.28), (3.29).