Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 28 )

По данной методике можно определить состояние системы с неизвестными параметрами. Данный метод можно применять к анализу различных сложных явлений.

В настоящей работе мы по новому методу определили энтропию с учетом степени однородности. Эта энтропия учитывает неоднородность в двумерном фазовом портрете. Для того, чтобы показать влияние степени однородности на энтропию, были рассчитаны значения энтропии при одинаковых количествах точек простых геометрических фигур для случаев: пустой, самоподобный, с случайным распределением точек внутри. Максимальная энтропия использовалась для нормировки энтропии динамических систем.

Предлагаемые нами универсальные закономерности эволюции открытых систем сформулированы в виде зависимости нормированной информационной энтропии от эволюционного параметра порядка. Способ нормировки энтропии, выражение эволюционного параметра порядка тоже является новыми результатами.

Была установлена закономерность между энтропией с учетом неоднородности и параметром порядка динамической системы.

Анализ динамических систем, как логистическое отображение, отображение Хенона, система дифференциальных уравнений гомоклинической бифуркации, отображение фрактальной эволюции и отображение Рулькова показал, что отображение фрактальной эволюции меры и генератор динамического хаоса с фазовым управлением реализуют колебания, удовлетворяющим условиям самоорганизации. Данный метод можно применять к анализу сложных явлений различной природы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 , , Эволюция антагонистически – взаимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста – Пирла // Математическое моделирование. – 2005. – Т. 17, №7.- C.11-22.

2 Henon M., А two dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys.- 1976- Vol. 50.-P. 69-77.

3 Lyubimov D. V., Zaks M. A., Two mechanisms of the transition to chaos in finite – dimensional model of convection// Physica 9D.-1983.-P. 52-64.

4 , , Универсальное отображение перемежаемости // Вестник КазНУ. – 2011.-№2 (37)- C. 15-25.

5 Rulkov N. F., Modeling of spiking-bursting neural behavior using two-dimensional map // Physical Review E.- 2002.- Vol. 65.-P. 10.

6 Lorenz E. N., Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci.-1963.-Vol. 20.-P. 130-141.

7 . Sparrow C., The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. –Berlin: Springer, 1982-P.269.

8 , , О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // «ДАН СССР».-1977.-Т.234, №2.-С. 336— 339.

9 Gambaudo J. M., Glendinning P., Tresser C., The gluing bifurcation: I. Symbolic dynamics of closed curves // Nonlinearity 1.-1988.- Vol. 203.-P.14.

10 Abshagen J., Pfister G., Mullin T., Gluing bifurcations in a dynamically complicated extended flow // Phys. Rev. Lett.-2001.-Vol. 87.- 224501.

11 Roy P. K., Dana S. K., Gluing bifurcation in Chua oscillator // Int. J. Bif. Chaos.-2006.-Vol. 16.-P. 3497-3508.

12 Нирхаус Г, Хаос и самоподобие // Нелинейная динамика. – 2011.- Т.7, № 1. - С. 153–175.

13 , , К вопросу о сценариях возникновения хаоса в трехмерных отображений // Нелинейная динамика. – 2012.- Т. 8, № 1. - С. 3–28.

14 , Исследование разрывных бифуркаций в негладких динамических системах // Нелинейная динамика. – 2012.-Т.8, №2.-С. 231-247.

15 , , Время возврата Пуанкаре и локальная размерность хаотических аттракторов // Нелинейная динамика. – 2012.- Т.8, №3.- С. 449-460.

16 , Поздняков Ю. В., Связанные универсальные отображения с бифуркацией Неймана – Сакера // Нелинейная динамика. – 2012.- Т.8, №3. – С. 473-482.

17 Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V., On Global Bifurcations in Three-Dimensional Diffeomorphisms Leading to Wild Lorenz-Like Attractors // Regular and Chaotic Dynamics.- 2009.- Vol. 14, № 1.-P. 137–147.

18 Thompson J. M. T., Stewart H. B., Nonlinear Dynamics and Chaos // John Wiley & Sons, England.- 2002. - 458 p.

19 Glending P., Stability, instability and chaos. - Cambridge University Press, 2001. -388 p.

20 Danilevich Ya. B., Kovalenko A. N., Nosyrev S. P., Irregularity of entropy processes in the body as an indicator of functional stability // Biological Sciences.- 2009.- Vol. 429.-P. 490.

21 , Энтропия и информация открытых систем //Успехи физических наук.- 1999.- Т. 169, № 4.- P. 443–452.

22 Pardalos P. M., Sackellares J. Ch., et. al., Statistiсаcal information approaches for the modelling of the epileptic brain // Computational Statistics and Data Analysis.-2003.-Vol. 43, issue 1.-P. 79–108.

23 , Квазиканоническое распределение Гиббса и масштабная инвариантность хаотических систем // Материалы 5- международной конференции «Хаос и структура в нелинейных системах». -2006.-Т.1.-С.15-23.

24 , , Защита информации динамическим хаосом с фазовым управлением // Материалы 7- международной научной конференции. Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент. - 2010.-С. 13-20.

25 Жанабаев А. Б., Численное моделирование работы генератора широкополосного, высокочастотного динамического хаоса // Сборник трудов. 5-ой Международной научной конференции. Современные достижения физики и фундаментальное физическое образование. – Алматы, 2007.-С. 184.

26 , , , Е., , Генератор сверхширокополосных хаотических сигналов с регулируемой базой // XIII межд. н.т. конф. «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2007.- С. 1954-1959.

27 , , Сверхвысокочастотные хаотические колебания генератора с фазовым управлением // Мат. III междунар. конг. студ., магистр. и мол. уч. «Мир науки». – Алматы, 2009. – С.134.

28 Feigenbaum M. J., Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, //J. Statist. Phys. -1978.-Vol. 19.-P. 25-52.

29 Анищенко B. C., , Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью, // Радиотехника и электроника. -1983. - Т. 28, № 6. - С. 1109—1115.

30 Анищенко B. C., , Летчфорд и стохастические автоколебания в генераторе синерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника. -1982.- Т. 27, №10.- С. 1972-1978.

31 Afraimovich V. S., Shilnikov, L. P., Invariant tori, their breakdown and stochasticity, // Amer. Math. Soc. Transl.- 1991.-Т. 149.-С. 201–211.

32 , Очарование хаоса, //Успехи физических наук.- 2010.- Т. 180, №12.- С. 1305-1329.

33 О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.;Л.: ОГИЗ, 1947.- 392 с.

34 Избранные труды. - Наука, 1972.- Т. 2. – 999c.

35 , Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - Наука, 1972. –472 c.

36 , Ланда и хаотические колебания. –Наука, 1987. – 424 c.

37 , , Введение в теорию нелинейных колебаний.- Наука, 1976. – 384 c.

38 О природе турбулентности. – Мир, 1981.- С.117-151.

39 , О рождении периодического движения из траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло //Мат. сб.-1968.-Т.77(119), №3.-С.461-472.

40 , Теория бифуркаций и модель Лоренца. // Дополнение I к книге Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена «Бифуркация рождения цикла и ее приложения».-Мир, 1980.- 19 с.

41 , , Структурная турбулентность в диссипативных системах. - Новосибирск: Институт теплофизики СО АН СССР, 1981.-48 с.

42 Yorke J., Yorke E., Metastable chaos: the transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model // J. Stat. Phys.-1979.-Vol.21, №3. - P. 263-277.

43 , , Методы качественной теории дифференциальных уравнений // Горький. – 1980. – С. 73-83.

44 Arneodo A., Coullet P., Tresser C. A., Possible new mechanism for the onset of turbulence //Phys. Lett. – 1981.-Vol.81 (A), №4.- P.197-201.

45 Libchaber A., Maurer J., Une Experience de Rayleigh – Benard de Geometrie reduite; Multiplication, Accrochage et Demultiplication de Frequence //J. Phys. Coll. – 1980.-Vol.41.-P.3-51.

46 Linsay P. S., Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator // Phys. Rev. Lett.-1981.-Vol.47.-P.1343.

47 Pomeau Y., Manneville P., Intermittency and the Lorenz model// Phys. Lett. A. - 1979.-Vol. 1,№ 75.-P. 1-2.

48 Roux J. C., Kepper P., Swinney H. L., Type – 2 intermittency in the Belousov – Zhabotinsky reaction // Phys. D.-1983.-Vol. 7.- P.57-68.

49 Dubois M., Rubio M. A., Berge P., Experimental evidence of intermittencies associated with a subharmonic bifurcation // Phys. Rev. Lett.-1983.-Vol.51.-P.1446.

50 Libchaber A., Fauve S., Laroche C., Two - parameter study of the routes to chaos //Physica D.-1983.-Vol.5.-P.73.

51 Martin S., Leber H., Martienssen W., Oscillatory and chaotic states of the electrical conduction in BSN crystals //Phys. Rev. Lett. – 1984.-Vol.53.-P.303.

52 Schuster H. G., Deterministic Chaos, An Introduction //VCH-Verlag, Weinheim.-1988.-P. 287.

53 Argyris J., Faust G., Haase M., An Exploration of Chaos. // - Amsterdam: North-Holland, 1994.-P.756.

54 Sanchez E., Matias M. A., Experimental observation of a periodic rotating wave in ring of undirectionally coupled analog Lorenz oscillators // Phys. Rev. E.-1998.-Vol. 57, № 5.-P. 6184-6186.

55 Shilnikov L. P., Some cases of generation of period motions from singular trajectories // Mat. Sb. -1963.-Vol. 61 (103).-P. 443-466.

56 Akhtanov S. N., Zhanabaev Z. Zh., Zaks M. A., Sequences of gluing bifurcations in an analog electronic circuit // Physics Letters A.-2013.-Vol. 377.-P.1621–1626.

57 Pikovsky A. S., Zaks M. A., Feudel U., Kurths J., Singular continuous spectra in dissipative dynamics // Phys. Rev. E.-1995.-Vol. 52, № 1.-P. 285-296.

58 Zaks M. A., Scaling properties and renormalization invariants for the «homoclinic quasiperiodicity» // Physica D. – 1993.-Vol.62.-P.300-316.

59 Gambaudo J. M., Procaccia I., Thomae S., Tresser C., New universal scenarios for the onset of chaos in Lorenz - type flows // Phys. Rev. Lett. – 1986.-Vol.57.-P.925-928.

60 Procaccia I., Thomae S., Tresser C., First return maps as a unified renormalization scheme for dynamical systems // Phys. Rev. A.-1987.-Vol. 35.-P. 1884- 1900.

61 Lyubimov D. V., Pikovsky A. S., Zaks M. A., Universal scenarios of transition to chaos via homoclinic bifurcations // Sov. Sci. Rev. C. Math. Phys.-1989.-Vol. 8.-P. 221–292.

62 Busse F. H., Kropp M., Zaks M. A., Spatio-temporal structures in phase-turbulent convection // Physica D.-1992.-Vol. 61.-P. 94.

63 Rucklidge A. M., Chaos in magnetoconvection // Nonlinearity.-1994.-Vol. 6.-P. 1565-1591.

64 Demeter G., Kramer L., Transition to chaos via gluing bifurcations in optically excited nematic liquid crystals // Phys. Rev. Lett.-1999.-Vol. 83.- P. 4744-4747.

65 Carbone V., Cipparrone G., Russo G., Homoclinic gluing bifurcations during the light induced reorientation in nematic-liquid-crystal films // Phys. Rev. E.-2001.-Vol. 63.- 051701.

66 Herrero R., Farjas J., Pons R., Orriols F. Pi, G., Gluing bifurcations in optothermal nonlinear devices // Phys Rev E.-1998.-Vol. 57.-P. 5366-5377.

67 Sánchez L. A., Convergence to equilibria in the Lorenz system via monotone methods // J. Differential Equations.-2005.-Vol. 217.-P. 341-362.

68 X. Liao P. Yu, Globally attractive and positive invariant set of the Lorenz system // Int. J. Bif. Chaos.-2006.-Vol. 16, №3.-P. 757-764.

69 Leonov G. A., General existence conditions of homoclinic trajectories in dissipative systems. Lorenz, Shimizu –Morioka, Lu and Chen systems // Phys. Lett. A.-2012.-Vol. 376, № 45.-P. 3045-3050.

70 G. A. Leonov, Shilnikov chaos in Lorenz – like systems // Int. J. Bif. Chaos.-2013.-Vol. 23, №3.-1350058.

71 Zaks M. A., On the convergence rate of a sequence of homoclinic bifurcations in systems without a symmetry constraint // Phys. Lett. A. – 1993. –Vol. 175.-P. 193-198.

72 Collet P., Coullet P., Tresser C., Scenarios under constraint //J. Phys. Lett. -1985.-Vol.46.-P. 143-147.

73 , Обобщенная метрическая характеристика динамического хаоса // Материалы VIII международной школы “Хаотические автоколебания и образование структур”.- 2007.- С. 67-68.

74 Фракталы.- М.: Мир, 1991. – 254 с.

75 , Сложные колебания в простых системах. - М.:Наука; Гл. ред. физ. мат. лит, 1990.-312 с.

76 ., , Новый метод исследования бифуркационных режимов по реализации динамической системы // Вестник КазНУ. Серия физическая.- 2013.-№ 1 (44).- C.67-78.

77 Akhtanov S. N., Zhanabaev Z. Zh., Zaks M. A., Experimental Study of Gluing Bifurcations // 20th Conference on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. – Germany: Wolfenbuttel, 2012, July 11-13.

78 , Мера Лебега хаотических сигналов //V межд. конгрессе студентов и молодых ученых “Мир науки”. – Алматы, 2011.- C.199.

79 Ахтанов с фрактальной структурой // V межд. конгрессе студентов и молодых ученых “Мир науки”.- Алматы, 2011.- C.200.

80 , , Фрактальность и перемежаемость в динамическом хаосе // V межд. конгрессе студентов и молодых ученых “Мир науки”. – Алматы, 2011.- C.201.

81 , , Кайша. А., Использование динамического хаоса с фазовым управлением для защиты информации // Международная конференция студентов и молодых ученых «Мир науки».- Алматы, 2010.-C.152.

82 , , Фрактальная эволюция меры // 7 межд. науч. конф. “Современные достижения физики и фундаментальное физическое образование”. – Алматы, 2011.- C.142-144.

83 Akhtanov S. N., Electronic simulation of gluing bifurcation //Международная конференция студентов и молодых ученых «Мир науки».-Алматы, 2012.-C.142.