Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 6 )

При К>1 отображение окружности не имеет квазипериодических траекторий. Зависимость становится неоднозначной, что соответствует перекрытию языков Арнольда. В закритической области отображение окружности описывает резонансы на торе и хаотические движения в окрестности разрушившегося тора Т2. Оно демонстрирует указанные в теореме сценарии разрушения тора и возникновения хаотической динамики. В языке Арнольда устойчивый резонансный цикл теряет устойчивость на линии удвоения периода и на каждом языке наблюдается переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. В областях перекрытия резонансов имеют место кризисы, приводящие к объединению хаотических аттракторов, возникших на базе различных резонансных циклов. В результате объединения хаотических множеств формируется тор – хаос. Диаграмма режимов отображения (1.13) на плоскости параметров отражает сложную самоподобную структуру языков Арнольда (рисунок 1.5).

При разрушении эргодических квазипериодических движений отображение (1.13) демонстрирует некоторые количественные закономерности универсального характера, т. е. не зависящие от конкретного вида функции , если она удовлетворяет перечисленным ранее условиям. Однако эти закономерности зависят от выбранного значения числа вращения.

Рисунок 1.5 - Диаграмма режимов отображения окружности. Штриховкой выделены области периодических режимов; соответствующие периоды обозначены цифрами

Иррациональное число раскладывается в непрерывную цепную дробь:

(1.15)

Если ограничиться первыми членами разложения, то получается рациональное число , называемое рациональной аппроксимацией числа порядка . Тогда иррациональное число можно представить как предел последовательности рациональных чисел:

(1.16)

Наиболее простое представление в виде периодической цепной дроби имеет иррациональнее число, называемое золотым сечением:

Для золотого сечения и есть последовательные члены основного ряда Фиббоначи: , . Ряды Фиббоначи определяются рекуррентной формулой , где () – основание ряда. Основной ряд имеет основание (0,1). Соответственно

Для иррациональных значений , имеющих периодическое (хотя бы начиная с некоторого ) разложение в цепную дробь, характерны определенные закономерности. Пусть - значение параметра при фиксированном К , для которого , и точка принадлежат устойчивому циклу периода . То есть определяется соотношением , где раз применённая функция. Величины сходятся к некоторому значению по закону геометрической прогрессии со скоростью :

(1.17)

Величина является универсальной константой, определяемой значениями и . Для золотого сечения было получено: при и при .

Для масштаба, определяемого величиной , существует предел

, (1.18)

где - универсальная константа. Для было получено: при и при .

Спектр траекторий отображения окружности в критической точке также обладает рядом универсальных свойств скейлинга. Для частоты спектральных компонент, приведенные к интервалу [0;1], удовлетворяют соотношению

, (1.19)

где - последовательные члены одного из рядов Фибоначчи. Спектральные серии, расположенные в порядке убывания амплитуд спектральных линий, соответствуют рядам Фибоначчи с основаниями: главная серия – (0,1); 2-я серия – (2,2); 3-я серия – (1,3); 4-я серия – (3,3); 5- я серия – (1,4); 6-я серия – (2,5) и т. д. Для линий каждой серии приведённая спектральная мощность имеет предел при :

(1.20)

Нормированный спектр представленный в координатах разбивается на идентичные интервалы, заключённые между соответствующими линиями каждой серии.

Вышеперечисленные и другие количественные закономерности разрушения двухчастотных квазипериодических режимов оказываются характерными не только для модельных одномерных отображений, но и для обратимых отображений размерности и потоковых систем. Они наблюдались (в пределах достижимой точности) в натурных экспериментах и при компьютерном моделировании различных динамических систем.

Для анализа отображений типа (1.13) в ряде исследований был применён метод ренорм – группы. Так, для можно получить функциональное уравнение неподвижной точки:

(1.21)

где . Его решение есть универсальная функция, а масштабный множитель является универсальной константой. Уравнение (1.21) имеет линейное решение . Ему соответствуют значения . Численно найденное при значение масштабного множителя совпадает с решением При линейное решение не удовлетворяет (1.21). Поскольку имеет в нуле кубическую точку перегиба, универсальная функция должна содержать кубическое слагаемое . Нетривиальная функция такого типа была получена численно в виде