Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 4 )

(1.10)

Определяющий роль в поведении возмущения будут играть собственные значения, превышающие по модулю единицу. В случае квадратичного экстремума имеется одно такое значение, соответствующее неустранимой компоненте возмущения, и оно определяет вторую универсальную фейгенбаумовскую константу .

Также переход к хаосу через удвоения периода наблюдается в моделях, записанных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера на рисунке 1.2 представлены изменения, происходящие в процессе перехода к хаосу через последовательность удвоений периода в генераторе с инерционной нелинейностью (ГИН) Анищенко – Астахова [29,30], описываемом уравнениями

(1.11)

где при и при .

Кроме того, за годы, прошедшие после публикации результатов Фейгенбаума, универсальная последовательность удвоений периода многократно воспроизводилась при численном решении систем уравнений в частных производных (описывающих, например, гидродинамические течения или химические процессы реакции-диффузии), а также наблюдалась в многочисленных экспериментах в области магнитных явлений, нелинейной оптики и физической химии.

1.2 Переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний

В отличие от перехода к хаосу через удвоения периода, переход двумерного тора Т2 в фазовом пространстве к хаотическим колебаниям может осуществляться разрушением этого тора Т2 и попаданием на множество с

а) проекции фазовых траекторий, б) форма колебаний и в) спектры мощности для циклов с периодами 2Т0k, k = 1, 2, 3 и странного аттрактора

Рисунок 1.2 - Последовательность бифуркаций удвоения периода в ГИН

фрактальной размерностью 2+d, d[0;1], который образуется в его окрестности и называется тор – хаосом. Такой сценарий можно рассматривать как особый случай перехода к хаосу через квазипериодическое движение. При этом характер квазипериодического режима зависит от числа вращения θ, определяющего отношение базовых частот колебаний. Если θ рационально, то имеет место резонанс на торе (и соответственно периодические колебания). При иррациональном значении числа вращения движение на торе будет эргодическим. (Более общее определение числа вращения приводится ниже, при обсуждении отображения (1.13)). Наблюдать переход от тора к хаосу при фиксированном значении числа вращения, можно только контролируя как минимум, два параметра системы одновременно. На линии рождения тора, задаваемой бифуркационным условием , где - пара комплексно – сопряженных мультипликаторов предельного цикла, число вращения определяется как . Области резонансов на плоскости двух управляющих параметров имеют форму языков (клювов), опирающихся острым концом на соответствующие точки линии рождения тора. Эти области называют языками Арнольда. Для каждого выбранного пути движения в пространстве параметров характерна своя последовательность бифуркаций, связанных с возникновением и исчезновением различных режимов на торе.

Теперь рассмотрим теорему о разрушении двумерного резонансного тора. Для понимания механизмов разрушения двумерного тора и рождения тор - хаоса важны результаты, полученные математиками в рамках качественной теории динамических систем. и [31] доказана теорема о разрушении двумерного тора Т2 с резонансной структурой на нём и указаны возможные пути возникновения хаотической динамики.

Рассмотрим N – мерную динамическую систему ()

(1.12)

где компоненты вектор – функции F, j=1,2,…,N, принадлежат классу гладкости Сk, k≥3; α – вектор параметров системы. Предположим следующее:

1)  при α=α0 система (1.12) в некоторой области фазового пространства имеет гладкий притягивающий тор с грубой структурой на нём, состоящий из четного числа циклов, половина из которых являются устойчивыми, а половина – седловыми, что соответствует области резонансного клюва. Тор является замыканием неустойчивых многообразий седловых циклов. Предположим для простоты, что имеется два цикла: устойчивый и седловой . Тогда , где - неустойчивое многообразие седлового цикла. Сечение резонансного тора изображено на рисунке 1.3, . Пусть при α=α1 инвариантного тора не существует. Тогда для непрерывной кривой , где существует такое значение что в точке тор разрушается, и, по крайней мере, для некоторых сколь угодно близких к значений система (1.12) не имеет тора Т2;

2)  пусть при всех притягивающее множество системы (1.12) совпадает с тором

3)  пусть при всех неустойчивое многообразие седлового цикла не содержит периодических движений, отличных от и .

В сделанных предположениях справедлива теорема о разрушении тора, согласно которой тор разрушается одним из следующих трёх способов: 1) в связи с потерей устойчивости циклом ; 2) в результате возникновения гомоклинического касания неустойчивого () и устойчивого () многообразий седлового цикла ; 3) в результате касательной бифуркации циклов и на торе. Перед тем как разрушиться, тор при теряет гладкость, то есть гомеоморфен, но не диффеоморфен гладкому тору. Это значит, что его поверхность можно взаимно-однозначно отобразить на поверхность гладкого тора, но такое отображение будет не везде дифференцируемым. Эти „недифференцируемые“ места и соответствуют образованию складок на поверхности тора.

а) Сечение резонансного тора б) качественная бифуркационная диаграмма разрушения тора

Рисунок 1.3 – Разрушение двумерного резонансного тора. Пути, соответствующие различным механизмам разрушения, обозначены буквами А, В, С

На рисунке 1.3, б) приведен качественный вид языка Арнольда на плоскости параметров и и указаны направления А, В, С отвечающие трём механизмам разрушения резонансного тора в соответствии с теоремой. На диаграмме использованы следующие обозначения: - линия рождения тора; - линии касательной бифуркации циклов на торе, определяющие границы области синхронизации; линия потери устойчивости резонансным циклом в области синхронизации; линия гомоклинического касания многообразий и . Пунктиром нанесена условная граница разрушения тора вне рассматриваемой резонансной области (в действительности она имеет сложную фрактальную структуру). Направление соответствует случаю, когда в результате касательной бифуркации на линии резонансный тор не разрушается, а становится эргодическим.