Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 7 )

(1.22)

Найденное значение константы согласуется с численно полученными результатами. Линеаризованное уравнение в неподвижной точке в качестве одного из собственных значений имеет величину, совпадающую с численно найденной по формуле (1.17) константой. Это объясняет универсальный характер константы . Результаты, полученные методом ренорм – группы для , были обобщены на случай произвольного иррационального числа вращения, которое можно представить в виде периодической цепной дроби. При этом вид функции и значения констант и естественно зависят от значения .

1.3 Переход от порядка к хаосу через перемежаемость

С развитием представлений о динамическом хаосе было установлено, что переход от периодических колебаний к хаосу может происходить скачком, в результате одной единственной бифуркации. Он сопровождается явлением перемежаемости. Перемежаемостью называют режим чередования во времени почти регулярных колебаний с интервалами хаотического поведения, наблюдающийся сразу за порогом возникновения хаоса. Типичный вид колебаний в режиме перемежаемости приведен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Перемежаемость в системе Лоренца () при

Пусть система имеет аттрактор – предельный цикл С, а при значении параметрапроисходит либо касательная (седлоузловая) бифуркация, либо подкритическая бифуркация рождения инвариантного тора, либо подкритическая же бифуркация удвоения периода. В результате любой из перечисленных бифуркаций в точке аттрактор С перестает существовать. При фазовые траектории из локальной окрестности исчезнувшего аттрактора С должны попадать на какой - то другой аттрактор, либо уже существовавший в системе при , либо возникающий в результате бифуркации. Пусть динамическая система уже имела другой аттрактор. Тогда в результате бифуркации наблюдается простое переключение с одного режима на другой. Перемежаемость при этом не возникает, даже если новый режим является хаотическим. Дело в том, что в этом случае кризис предельного цикла не служит причиной, порождающей хаотический аттрактор, а сам аттрактор не захватывает локальную окрестность цикла С. Траектории уходят из этой окрестности и не возвращаются. Каковы же условия, при которых кризис предельного цикла приводит к возникновению перемежающегося хаоса?

Очевидно, это происходит в том случае, когда в бифуркационной точке уже существует непритягивающее хаотическое множество, которое при становится притягивающим и включает в себя локальную окрестность цикла С так, что фазовая траектория на хаотическом аттракторе время от времени в эту окрестность возвращается. Условием реализации такого поведения системы может явиться наличие у седлового предельного множества, участвующего в кризисе аттрактора С, гомоклинической траектории. В качестве примера на рисунке 1.7 представлена касательная бифуркация циклов, приводящая к хаотической перемежаемости. Седловой цикл имеет пару грубых гомоклинических траекторий. В точке бифуркации образуется негрубая седло – узловая орбита с гомоклинической структурой в её окрестности. Траектории удалятся от неё и приближаются к ней вдоль двоякоасимптотических гомоклинических кривых (им соответствуют точки пересечения многообразий в сечении, изображённом на рисунке 1.7). При негрубая замкнутая орбита исчезает, а непритягивающая гомоклиническая структура становится притягивающей. В фазовом пространстве динамической системы возникает хаотический аттрактор. Траектории на нём сгущаются в области, где существовала седло – узловая орбита, подолгу повторяя движение на ней, что соответствует регулярным колебаниям перемежающегося хаоса.

Перемежаемость, связанная с касательной бифуркацией циклов, наиболее типична для широкого класса динамических систем. Она была обнаружена и исследована раньше других случаев перемежаемости и получила название – перемежаемость I типа. Для анализа свойств перемежаемости I типа используется одномерное модельное отображение вида

. (1.23)

Параметр соответствует параметру надкритичности системы, так как в (1.23) касательная бифуркация имеет место при ; - целое число, определяющее порядок экстремума функции последования. Возврат изображающей точки в ограниченный интервал значений может быть

а) до бифуркации, б) в точке бифуркации

Рисунок 1.7 - Качественный вид сечений Пуанкаре для касательной бифуркации устойчивого и седлового циклов, приводящей к возникновению хаоса через перемежаемость

осущеcтвлён различными способами. Например, для отображения, представленного на рисунке 1.8, для возврата изображающей точки служит ветвь графика функции последования на отрезке АВ. Отображение приведенное на рисунке 1.8, а), соответствует моменту касательной бифуркации . Пунктирные линии на графике представляют собой построение с помощью диаграммы Ламерея двоякоасимптотической траектории седло – узловой точки. Отображение на рисунке 1.8, б) соответствует случаю В окрестности исчезнувшей неподвижной точки график функции последования образует так называемый канал, по которому изображающая точка движется довольно долго, что соответствует регулярным колебаниям перемежаемости. Уход изображающей точки из канала определяет хаотическое поведение, в которой точка должна попасть на участок АВ, обеспечивающий её возврат в канал.

Исследование отображений вида (1.23) выявляет определённые количественные закономерности перемежаемости I типа (например характер зависимости средней длительности регулярных колебаний от параметра надкритичности), носящие универсальный характер в том смысле, что они не зависят от конкретного вида отображения и определяются порядком экстремума p. Для типичного случая p=2 эти закономерности хорошо согласуются с результатами численных и экспериментальных исследований перемежаемости I типа в потоковых системах. К исследованию перемежаемости I типа был применён ренорм – групповой метод.

Рассмотрим отображение (1.23) в критической точке, ограничиваясь интервалом , на котором отображение задано монотонной функцией вида , для которой , . Применив все те же рассуждения, что и в случае сценария Фейгенбаума, можно получить то же самое уравнение Фейгенбаума – Цветановича (1.7), но с другими граничными условиями: Ренорм – групповой анализ позволяет теоретически определить асимптотику поведения средней длительности регулярных колебаний:

~ , (1.24)

При имеем ~, что хорошо согласуется с результатами многочисленных экспериментов.