Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 9 )

Анализ гомоклинической траектории удобно проводить в отображении на секущей Пуанкаре (рисунок 1.10 б)), где эффекту пересечения многообразий соответствует трансверсальное пересечение устойчивой и неустойчивой сепаратрис седловой точки равновесия . Гомоклинической траектории в отображении отвечает гомоклиническая точка . Однако если возникнет хотя бы одна гомоклиническая точка, то можно показать, что их появится счетное множество (,,…) [35]. В окрестности седлового цикла при этом реализуется сложная картина взаимопересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, характеризуемая наличием бесконечного числа гомоклинических траекторий. Возникает гомоклиническая структура [36-37], содержащая множество седловых периодических движений одного типа и совокупность сложных траекторий, двоякоасимптотических к ним.

Наличие гомоклинической структуры в нелинейных диссипативных системах является необходимым условием возникновения динамической стохастичности. Но для реализации режима странного аттрактора этого еще недостаточно. Нужно, чтобы для значений параметров системы, отвечающих области существования гомоклинической структуры, либо отсутствовали вовсе, либо потеряли устойчивость любые регулярные аттракторы. Если это условие выполнено и все траектории в аттракторе седловые, то возникает в строгом смысле динамический хаос, математическим образом которого является странный аттрактор [6, c. 137, 38].

а) б)

Рисунок 1.10 - Инвариантные многообразия седлового цикла Г (а) и их взаимопересечение в отображении Пуанкаре (б)

Рассмотренный тип гомоклинических траекторий и структур не является единственным. Сложные гомоклинические структуры возникают с пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий двух и более седловых предельных циклов. Они называются гетероклиническими. Гомоклиническими сейчас называют также и двоякоасимптотические траектории типа петель сепаратрис седлового положения равновесия и траектории, выходящие из одного седла и при входящие в другое. Естественно, что траектории типа сепаратрисных петель структурно устойчивыми (или грубыми) не являются, так как разрушаются при сколь угодно малом «шевелении» параметров системы.

Общим важным свойством любых гомоклинических траекторий и структур является то, что при вариации параметров системы в их окрестности осуществляется бесконечное число различных бифуркаций рождения и исчезновения множества регулярных с странных аттракторов. Поэтому сам факт существования в динамической системе тех или иных типов гомоклинических траекторий можно расценивать как критерий сложности ее поведения.

Рассмотрим теперь систему n обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.36)

обладающая следующими специальными свойствами:

а) существует такое стационарное решение уравнений (1.36), что спектр линеаризации векторного поля F вблизи особой точки содержит единственное собственное число в правой полуплоскости, а среди собственных чисел, лежащих в левой полуплоскости, самое правое () действительно;

б) представимо в виде прямого произведения , где и , так что уравнения (1.36) инвариантны относительно инверсии в с центром в ;

в) собственный вектор, соответствующий , принадлежит , а собственный вектор, соответствующий , принадлежит .

Пусть при некоторых значениях параметров неустойчивое многообразие точки (состоящее из двух траекторий, которые будем называть сепаратрисами и ) касается устойчивого, образуя пару так называемых гомоклинических петель (рисунок 1.11), причём сепаратрисы возвращаются в седло вдоль ведущего направления. Такое касание не является грубым; ему соответствует бифуркационная плёнка М коразмерности 1 в пространстве параметров М. Как следует из работы [39], вблизи этой плёнки существует пара однооборотных периодических траекторий – L – циклов (далее предполагается, что инвариантные многообразия таких периодических решений ориентируемы). Это происходит при разрушении гомоклинической петли наружу, если седловая величина

(1.37)

положительна; в этом случае L - циклы являются седловыми.

При L – циклы возникают при разрушении петли вовнутрь; они устойчивы. Кроме того, при положительных значениях седловой величины разрушение наружу пары гомомклинических петель сопровождается возникновением множества, содержащего счётное число седловых многооборотных периодических движений и континуум устойчивых по Пуассону траекторий. Вблизи М - множество неустойчиво, однако вдали может приобрести притягивающие свойства, например, при влиянии сепаратрис в L – циклы; именно таким образом возникает хаотический аттрактор в системе Лоренца [8, с. 337].

Представляет интерес также и изучение бифуркаций, происходящих при отрицательных значениях седловой величины. Рассмотрение гомоклинических петель и порождаемых ими структур при изменений знака возможно в рамках, вообще говоря, двухпараметрического семейства. Поэтому М в дальнейшем предполагается двумерным.

Вблизи М траектории, начинающиеся в некоторой окрестности седла , возвращаются в эту окрестность. Изучение поведения этих траекторий может быть проведено с помощью отображения Пуанкаре на подходящим образом выбранной () – мерной гиперповерхности. Предполагая, что траектории возвращаются в окрестность седла вдоль ведущего направления его устойчивого многообразия, площадку удобно взять трансверсальной к этому направлению. Согласно общим результатам теории дифференциальных уравнений систему (1.36) в окрестности точки невырожденным линейным преобразованием можно привести к виду:

(1.38)

При всех , причём и имеют, по крайней мере, второй порядок малости по всем переменным . В качестве площадки Пуанкаре возьмём близкую к седлу площадку А, ортогональную оси (соответствующей ведущему направлению устойчивого многообразия седла). В силу сделанных допущений все траектории, проходящие в достаточной близости от особой точки, пересекают эту площадку. Устойчивое многообразие седла делит площадку А на две части и , так что траектории, начинающиеся на () уходят от особой точки вдоль сепаратрисы (). Для построения отображения используем две близкие к седлу вспомогательные площадки и, ортогональные оси и пересекающие, соответственно, и .